Original PDF Flash format mat.-01.-matriks  


Mat. 01. Matriks



MAT. 01. Matriks


i


Kode MAT.01


Matriks



















BAGIAN PROYEK PENGEMBANGA N KURIKULUM

DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
2004

MAT. 01. Matriks


ii



Kode MAT. 01

Matriks






Penyusun:
Drs. Mega Teguh B., M.Pd.



Editor:
Dr. Manuharawati, MSi.
Dra. Kusrini, M.Pd.






BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM
DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
2004
MAT. 01. Matriks



iii


Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas
karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual
untuk SMK Bidang Adaptif, yakni mata pelajaran Fisika, Kimia dan
Matematika. Modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran
berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi
2004 yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based
Training).
Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 2004 adalah modul,
baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar
Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri.
Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh
peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar yang diharapkan
dunia kerja dan industri.
Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari
penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian
disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan
empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expert-
judgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta
diklat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan
sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi
kerja yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain
dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan
selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya
selalu relevan dengan kondisi lapangan.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan
dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak
berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang
MAT. 01. Matriks


iv
sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul
(penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas
dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan
penyusunan modul ini.
Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang
psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai
bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para
pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas,
dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri
dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali
kompetensi yang terstandar pada peserta diklat.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,
khususnya peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata pelajaran
Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi yang sedang mengembangkan modul
pembelajaran untuk SMK.






Jakarta, Desember 2004
a. n. Direktur Jenderal Pendidikan
Dasar dan Menengah
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,


Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc.
NIP 130 675 814












MAT. 01. Matriks


v

DAFTAR ISI


?
Halaman Sampul ..........................................................................
i
?
Halaman Francis ..........................................................................
ii
?
Kata Pengantar ............................................................................
iii
?
Daftar Isi
...............................................................................
v
?
Peta Kedudukan Modul..................................................................
vii
?
Daftar Judul Modul ...................................................................... viii
?
Glosary
............................................................................... ix

I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi ...............................................................................
1
B. Prasyarat ...............................................................................
1
C. Petunjuk Penggunaan Modul..................................................... 1
D. Tujuan Akhir ...........................................................................
2
E. Kompetensi.............................................................................
3
F. Cek Kemampuan .....................................................................
5

II. PEMBELAJARAN
A. Rencana Belajar Peserta Diklat ..................................................
6
B. Kegiatan Belajar ......................................................................
7
1. Kegiatan Belajar 1...............................................................
7
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................
7
b. Uraian Materi.................................................................
7
c. Rangkuman................................................................... 20
d. Tugas ........................................................................... 21
e. Kunci Tugas .................................................................. 22
f. Tes Formatif.................................................................. 24
g. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 24

4. Kegiatan Belajar 4 .............................................................. 27
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 27
b. Uraian Materi................................................................. 27
c. Rangkuman................................................................... 38
d. Tugas ........................................................................... 39
e. Kunci Tugas .................................................................. 39
f. Tes Formatif.................................................................. 41
g. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 41

MAT. 01. Matriks


vi
III. EVALUASI ............................................................................... 44
KUNCI EVALUASI ...................................................................... 45
IV. PENUTUP ............................................................................... 49
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 50
MAT. 01. Matriks


vii
PETA KEDUDUKAN MODUL



MAT.01



MAT.02
MAT.03
MAT.04






MAT.05
MAT.06





MAT.07
MAT.08
MAT.09
MAT.10





MAT.11
MAT.12
MAT.14
MAT.15






MAT.13



MAT.16












MAT. 01. Matriks


viii

Daftar Judul Modul


No. Kode Modul
Judul Modul
1
MAT.01
Matrik
2
MAT.02
Logika Matematika
3
MAT.03
Persamaan dan Pertidaksamaan
4
MAT.04
Geometri Dimensi Dua
5
MAT.05
Relasi Dan Fungsi
6
MAT.06
Geometri Dimensi Tiga
7
MAT.07
Peluang
8
MAT.08
Bilangan Real
9
MAT.09
Trigonometri
10
MAT.10
Irisan Kerucut
11
MAT.11
Statistika
12
MAT.12
Barisan
13
MAT.13
Aproksimasi Kesalahan
14
MAT.14
ProgramLinier
15
MAT.15
Vektor
16
MAT.16
Matematika Keuangan














MAT. 01. Matriks


ix
Glossary


ISTILAH
KETERANGAN
Matrik
Susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang
diatur berdasarkan baris dan kolom/lajur.
Elemen, unsur atau entri Bilangan-bilangan dalam susunan matriks.
Ordo matriks
ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan
banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya
kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks
tersebut.
Matriks nol
Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang
setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol.
Matriks satu/vektor satu Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang
setiap entri atau elemennya adalah 1.
Matriks baris/vektor baris Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang
entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu
baris.
Matriks kolom/vector
Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang
lajur
entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu
kolom.
Matriks Persegi
Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom
dinamakan matriks kuadrat berorde n (square
matrix of order n) dan entri-entri a11, a22, a33,…,
ann berada pada diagonal utama dari A.
Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang

entri/elemennya memenuhi syarat aij
?a untuk i
ij
? j
?

?0 untuk i? j
Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi
yang entri/elemennya memenuhi syarat aij

?a untuk i
ij
? j
?

?0 untuk i? j
Matriks tranpose
Suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan
baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks
At. Jadi dapat dituliskan dalam rumus:
MAT. 01. Matriks


x
Matrik diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang
entri/elemennya memenuhi syarat aij
?0 untuk i? j
?
?a

ij
untuk i ? j
?
?0 untuk i? j
Penjumlahan Matriks
Matriks Identitas adalah matriks persegi yang
entri/elemennya memenuhi syarat aij
Matriks Identitas/Matriks Ssuatu matriks dan k adalah suatu skalar, maka
Satuan (I)
hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan

mengalikan entri/elemen dari A oleh k.
Perkalian Skalar dengan
Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu
Matriks
skalar, maka hasil kali kA adalah matriks yang

diperoleh dengan mengalikan entri/elemen dari A
oleh k.

MAT. 01. Matriks


xi
BAB I. PENDAHULUAN


A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari Pengertian matriks, notasi
matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan
matriks, tranpose matriks. Anda juga mempelajari penyelesaian operasi
matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian skalar dengan matriks,
perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks, minor, kofaktor dan
adjoin matriks dan invers matriks. Anda juga mempelajari penyelesaian sistem
persamaan linier dengan menggunakan matriks.

B. Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah
mempelajari relasi dan fungsi, persamaan serta operasi pada bilangan real.
Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul Relasi dan Fungsi,
persamaan dan pertidaksamaan dan bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Modul
a. Pelajari daftar isi serta skema kedudukan modul dengan cermat dan teliti
karena dalam skema modul akan nampak kedudukan modul yang sedang
Anda pelajari ini antara modul-modul yang lain.
b. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar
untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan, sehingga
diperoleh hasil yang optimal.
c. Pahami setiap teori dasar yang akan menunjang penguasaan materi
dengan membaca secara teliti. Bilamana terdapat evaluasi maka kerjakan
evaluasi tersebut sebagai sarana latihan.
MAT. 01. Matriks


1
d. Jawablah tes formatif dengan jawaban yang singkat dan jelas serta
kerjakan sesuai dengan kemampuan Anda setelah mempelajari modul ini.
e. Bila terdapat penugasan, kerjakan tugas tersebut dengan baik dan bila
perlu konsultasikan hasil penugasan tersebut kepada guru/instruktur.
f. catatlah semua kesulitan Anda dalam mempelajari modul ini untuk
ditanyakan pada guru/instruktur pada saat tatap muka. Bacalah referensi
lain yang ada hubungan dengan materi modul ini agar Anda mendapatkan
pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Memahami pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan
ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks.
2. menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan,
perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks,
determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers
matriks.
3. Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.




MAT. 01. Matriks


2
E. Kompetensi
KOMPETENSI

: MATRIKS
PROGRAM KEAHLIAN
: program adaktif
KODE


: MATEMATIKA/MAT 01
DURASI PEMBELAJARAN : 28 Jam @ 45 menit

MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SUB KOMPETENSI
KRITERIA KINERJA
LINGKUP BELAJAR
SIKAP
PENGETAHUAN
KETERAMPILAN
1. Mendeskripsikan
? Matriks dibedakan menurut
? Macam-macam matriks
? Teliti dan cermat dalam ? Pengertian matriks,
? Mengoperasikan
macam-macam
jenisnya
menerapkan konsep
notasi matriks, baris
matriks
matriks
matriks
kolom, elemen dan


ordo matriks
? Jenis-jenis matriks
? Kesamaan Matriks
? Transpose matriks

2. Menyelesaikan
? Operasi matriks diselesaikan
? Operasi matriks
? Teliti dan cermat dalam ? Penyelesaian operasi
operasi matriks
dengan menggunakan aturan
menerapkan konsep
matriks :
yang berlaku
matriks
- penjumlahan dan

pengurangan
- perkalian skalar
dengan matriks
- perkalian matriks
dengan matriks.
3. Menentukan
? Determinan dan invers
? Determinan dan Invers
? Teliti dan cermat dalam ? Determinan matriks
determinan dan
matriks ditentukan dengan
matriks
menerapkan konsep
? Minor, kofaktor dan
invers
aturan yang berlaku
matriks
adjoin matriks

? Invers matriks
? Penyelesaian sistem
persamaan linier
dengan menggunakan
matriks.

MAT. 01. Matriks


3

MAT. 01. Matriks


4
F. Cek kemampuan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika anda merasa dapat mengerjakan
semua soal berikut ini, maka anda dapat langsung mengerjakan soal-soal
Evaluasi pada BAB III.
1. Apakah yang dimaksud dengan matriks?
2. Kapankah dua matriks dikatakan sama?
?2 3
?
3.
4
Tentukan tranpos dari matriks A = ?
?
?5 6
?
7
?0
?
?10 ? ?
4.
3
5
Jika A = ?
? dan B = ?
?, maka hitung 5(A + B)
?1
?
4
?2 ? ?
1


?1?
5. Jika A = ?2 ?
1 ; B = ? ?, hitung A x B
?2?

?3
?
6.
4
Tentukan determinan matriksA = ?
? .
?1
?
2

MAT. 01. Matriks


5
BAB II. PEMBELAJARAN



A. Rencana Belajar Siswa


Kompetensi
: Menerapkan konsep matriks.
Sub Kompetensi : - Mendeskripsikan macam-macam matriks
- Menyelesaikan operasi matriks
-
Menentukan determinan dan invers






Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di
bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya
kemudian meminta tangan kepada guru atau instruktur anda.





Jenis
Tanggal
Waktu
Tempat
Alasan
Tanda
Kegiatan
Belajar
perubahan Tangan Guru






























































































































MAT. 01. Matriks


6

B. KEGIATAN BELAJAR

1. Kegiatan Belajar 1
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:
? Memahami pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan
ordo matriks.
? Menyatakan jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, dan tranpose matriks.
? Menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian
skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks.

b. Uraian Materi
NOTASI MATRIKS
Bentuk umum matriks: Matriks adalah susunan segi empat siku-siku
dari bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom/lajur. Bilangan-
bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau
disebut juga elemen atau unsur.

?a
a
a
11
12
13
?? ? a
a
1 j ? ? ?
1m
?
?
?
?a
a
a
21
22
23 ? ? ? a
a
2 j ? ? ?
2m
?
?
?
?
Amxn = ?
?
?a
a
a
a
a
Baris ke - i
i1
i2
i3
? ? ? ij ? ? ?
im ?
?
?
??
?
?a
a
a
a
a
n1
n 2
n3
? ? ? nj ? ??
?
?
nm ?

Keterangan:
Kolom ke - j
aij artinya entri matriks A yang berada pada baris ke-i dan kolom j.
MAT. 01. Matriks


7
ORDO MATRIKS
Ordo matriks atau ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan
banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang
terdapat sdalam matriks tersebut. Jadi, suatu matriks yang mempunyai m
baris dan n kolom disebut matriks berordo m x n.

JENIS-JENIS MATRIKS
Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan
pada entrinya. Sehingga matriks dibedakan sebagai berikut:
1. Matriks nol
Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau
elemennya adalah bilangan nol.
Contoh 1
? 0 0 0 0?
? 0 0 0 0?
A =
?
?
?
?; B = 0 0 0 0
? 0 0 0 0?
?
?
? 0 0 0 0?
?
?

2. Matriks satu/vektor satu
Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau
elemennya adalah 1.
Contoh 2
? 1 1 1 ?
1
? 1 1 1 ?
A =
1
?
?
?
? ; B = 1 1 1 1 ; C = ?1 1 1 ?
1
? 1 1 1 ?
1
?
?
? 1 1 1 ?
?
?
1

3. Matriks baris/vektor baris
Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau
elemennya tersusun dalam tepat satu baris.
Contoh 3
A = ?1 3 4 2 ? ; B = ? 2 4 6 8 5 ?
MAT. 01. Matriks


8
4. Matriks kolom/vektor lajur
Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau
elemennya tersusun dalam tepat satu kolom.
Contoh 4
? 1?
? 1?
? ?
A = ? ?
?4?
?4? ; B =

?3 ?
?3 ?
? ?
? ?
?8 ?
5. Matriks Persegi
Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks
kuadrat berorde n (square matrix of order n) dan entri-entri a11, a22, a33,…,
ann berada pada diagonal utama dari A.
Contoh 5
?2 1
?
6
?2 ?
A =
1
?
?
?
? ; B = 3 4 8
?3 4?
?
?
?1 9
7?
?
?

Matriks Persegi dibedakan menjadi:
a) Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri/elemennya
?a untuk i
ij
? j
memenuhi syarat aij ?

?0 untuk i? j
Contoh 6
?2 1 6 0 ?
?2 1
?
6
?
?
A = ?
?
?0 4 8 7 ?
?0 4 8 ? ; B =

?0 0
7 4 ?
?0 0 7 ?
?
?
?
?
?0 0
0 9?

b) Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya
?a untuk i
ij
? j
memenuhi syarat aij ?

?0 untuk i? j
MAT. 01. Matriks


9
Contoh 7
?2 0 0 0?
?2 0
?
0
?
?
A = ?
?
?7 4 0 0?
?9 4 0 ? ; B =

?4 6 7 0?
?2 8 7 ?
?
?
?
?
?3 5 0 9?
c) Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya
?0 untuk i? j
memenuhi syarat a ?
ij ?a

ij
untuk i ? j
?
?0 untuk i? j
Contoh 8
?2 0 0
?
0
?2 0
?
0
?
?
?
2
0 ?
A =
?
?
0
4
0
0
?
? ; B = 0 4 0 ; C = ?
?
?0 4 ?
?
?
?0 0
7
?
?
0
0
0
7 ?
?
?
?
?
?0 0
0 9?
d) Matriks Identitas/Matriks Satuan (I)
Matriks Identitas adalah matriks persegi yang entri/elemennya
?0 untuk i? j
memenuhi syarat a ?
ij ?1 untuk i ? j
?
?0 untuk i? j
Contoh 9
?1 0 0
?
0
?1 0
?
0
?
?
?
1
0 ?
A =
?
?
0 1
0 0
?
? B = 0 1 0 ; C = ?
?
?0 1 ?
?
?
?0 0 1
?
?
0
0
0
1?
?
?
?
?
?0 0 0 ?
1

KESAMAAN MATRIKS
Definisi. Jika A dan B suatu matriks m x n, maka A=B jika dan hanya
jika ordo kedua matriks tersebut sama dan entri/elemen yang seletak sama.
Dari definisi di atas, dua buah matriks dikatakan sama jika:
1. Ordo kedua matriks itu sama.
2. Entri/elemen yang seletak sama.
MAT. 01. Matriks


10
Contoh 10
?
? 2
?
1 2
?
2
3
1. A =
3
?
?
?
? ; B = 2

?
?
?
1 4
?
5
? 4
8
5 ?
? 4
2
?
Dua matriks di atas, memiliki ordo dan elemen yang seletak sama, maka
berdasarkan definisi dikatakan A = B.
?4
?
? 4
z ? ?
2. C =
3
5
?
? ; Q = ?
?
?2
?
1
?y ? 2 x ? ?
1
Jika P = Q, tentukan x, y dan z?
Jawab: x – 1 = 1

z – 5 = 3
x = 2
z = 8
y + 2 = 2
y = 0

TRANPOSE SUATU MATRIKS
Definisi. Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A
dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom
pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua
dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan
seterusnya.
Dari definisi di atas, dapat juga dikatakan bahwa matriks tranpose
adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris pada matriks A
menjadi kolom pada matriks At. Jadi dapat dituliskan dalam rumus:

Amxn = aij ? Atnxm

Contoh 11
?2
?
5
?2 3
?
1. A =
4
?
?
?
? ; At = 3 6
?5 6
?
7
?
?
?4
?
?
?
7

MAT. 01. Matriks


11
?2 ? 1 0 ?
? 2 3 4 5 ?
?
?
2. B = ?
?
?3 5
7 ?
?? 1 5 6
?
10
; Bt =



?4 6
8 ?
? 0 7 8
?
?
?
15
?
?
?5 10
?
15
Dari matriks tranpose ini, muncul istilah matriks simetrik (setangkup).
Hal ini terjadi misalkan A suatu matriks, jika A = At maka A disebut matriks
simetrik/setangkup.
Contoh 12

?2
?
?2
?
A =
1
1
?
? ; At = ?
? karena A = At , maka A disebut matriks simetrik.
?1
?
2
?1
?
2
?0 3
?
4
?0 3
?
4
B = ?
?
?
?
?3 0
?
0 ; Bt = ?3 0
?
0 karena B = Bt maka B disebut matriks
?4 0
?
?
?
0
?4 0
?
?
?
0
simetrik.

OPERASI PADA MATRIKS
Penjumlahan Dua Matriks
Definisi. A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama,
maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan
bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.
Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matriks dapat
dijumlahkan jika ordonya sama, penjumlahan dilakukan pada elemen yang
seletak. Jadi dapat dituliskan dalam rumus: Amxn + Bmxn = Cmxn
Contoh13
?0
?
?10 ? ?
1.
3
5
A = ?
? dan B = ?
?
?1
?
4
?2 ? ?
1
Hitung: a) A + B
b) B + A

MAT. 01. Matriks


12
Jawab:
?0
?
?10 ? ?
a.
3
5
A + B = ?
? + ?
?
?1
?
4
?2 ? ?
1
?0 ? 10 3? (? )
5 ?
?10 ? 2?

= ?
? = ?
?
?1? 2 4 ? (? )
1 ?
?3
3 ?
?10 ? ?
?0
?
b.
5
3
B + A = ?
? + ?
?
?2 ? ?
1
?1
?
4
?10 ? 0 ? 5 ? ?

=
3
?
?
? 2 ? 1 ? 1? 4?
?10 ? 2?

= ?
?
?3
3 ?
?? 2 ? 5
?
?0 3
5 ?
?3 ? 3 4?
2.
1
P = ?
? ; Q = ?
?; dan R = ?
?
? 4
1
?
0
?1 ? 1 ? ?
2
?5 ? 7 1?
Hitung:
a) P + Q + R
b) (P+Q) + R
c) P + (Q+R)
Jawab:
?? 2 ? 5
?
?0 3
5 ?
?3 ? 3 4?
a) P + Q + R =
1
?
? + ?
? + ?
?
? 4
1
?
0
?1 ? 1 ? ?
2
?5 ? 7 1?
?? 2 ? 0 ? 3 ? 5 ? 3? (? )
3
1 ? 5 ? 4 ?


= ?
?
? 4 ? 1? 5 1? ?
(
)
1 ? (? )
7
0 ? (? )
2 ? ?
1
?1 ? 5 10?


= ?
?
?10 ? 7 ? ?
1
?? 2 ? 5
?
?0 3
5 ?
b) P + Q =
1
?
? + ?
?
? 4
1
?
0
?1 ? 1 ? ?
2
?? 2 ? 0 ? 5 ? 3
1 ? 5 ?


= ?
?
? 4 ? 1 1? (? )
1
0 ? (? )
2 ?
?? 2 ? 2
6 ?


= ?
?
? 5
0
? ?
2
MAT. 01. Matriks


13
?? 2 ? 2
6 ?
?3 ? 3 4?

(P+Q) + R = ?
? + ?
?
? 5
0
? ?
2
?5 ? 7 1?
?1 ? 5 10?


= ?
?
?10 ? 7 ? ?
1
?0 3
5 ?
?3 ? 3 4?
c) Q + R = ?
?+ ?
?
?1 ? 1 ? ?
2
?5 ? 7 1?
?0? 3 3? (? )
3
5 ? 4 ?


= ?
?
?1? 5 ? 1? ?
( 7)
? 2? ?
1
?3 0
9 ?


= ?
?
?6 ? 8 ? ?
1
?? 2 ? 5
?
?3 0
9 ?

P + (Q+R) =
1
?
? + ?
?
? 4
1
?
0
?6 ? 8 ? ?
1
?1 ? 5 10?


= ?
?
?10 ? 7 ? ?
1

Dari contoh (1) dan (2) diperoleh sifat-sifat:

1) A + B = B + A ? Komutatif

2) (A+B)+C = A + (B+C) ? Asosiatif


Pengurangan Dua Matriks
Dalam pengurangan matriks ini, kita perlu mengetahui terlebih dahulu
tentang lawan suatu matriks. Lawan suatu matriks dapat dijelaskan sebagai
berikut:
Jika A suatu matriks, maka matriks –A disebut lawan dari matriks A.
Contoh 14
? 4
?
1)
5
Jika A = ?
?,
?? 3
?
6
a) Tentukan lawan dari A?
b) Hitung A+(-A)?

MAT. 01. Matriks


14
Jawab:
? 4
?
?? 4 ? ?
a)
5
5
A = - ?
? = ?
?
?? 3
?
6
? 3
? ?
6
? 4
?
?? 4 ? ?
?0 0?
b)
5
5
A+(-A) = ?
? + ?
? = ?
?
?? 3
?
6
? 3
? ?
6
?0 0?

?? 5 3 ?
?3 ? ?
2)
1
Jika A = ?
? ; B = ?
?
? 6 ? ?
1
?2 ? ?
1
Hitung A -B ?
Jawab:
?? 5 3 ?
?3 ? ?
?3 ? ?
?? 3
?
A-B =
1
1
1
?
? - ?
? -B = - ?
? = ?
?
? 6 ? ?
1
?2 ? ?
1
?2 ? ?
1
?? 2
?
1
?? 5? 3? (? )
1 ?
?? 5 3 ?
?? 3
?
=
3
1
?
?
A + (-B) = ?
? + ?
?
?6 ? 2 ? 1? )
1
( ?
? 6 ? ?
1
?? 2
?
1
?? 8
?
?? 5? (? )
3
3 ? 1 ?
=
4
?
?


= ?
?
? 4
?
0
? 6 ? (? )
2
? 1? ?
1
?? 8
?





=
4
?
?
? 4
?
0
Dari contoh (1) dan (2) dapat ditemukan sifat-sifat sebagai berikut:

1). A + (-A) = (-A) + A = 0 (Matriks Nol)
2). A + 0 = 0 + A = A
3). A + (-B) = A - B

Perkalian Skalar dengan Matriks
Definisi. Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu skalar, maka
hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri/elemen
dari A oleh k.
Dari definisi di atas, dapat juga dijelaskan bahwa misal k suatu skalar,
anggota bilangan real, dan A = aij suatu matiks. Maka: kA = kaij
Contoh 15
?1
?
1)
4
A = ?
?
?2
?
3
MAT. 01. Matriks


15
Hitung :
a) 2A
b) (-3)A
Jawab:
?1
?
?2 1
x
2x ?
?4
?
a)
4
4
6
2A = 2 ?
? = ?
? = ?
?
?2
?
3
?2x2 2x ?
3
?2
?
8
?1
?
?? 3 1
x
? 3x ?
?? 3 ? ?
b)
4
4
12
(-3) A = -3 ?
? = ?
? = ?
?
?2
?
3
?? 3x2 ? 3x ?
3
?? 6 ? 9 ?
?2 1
2 ?
?1 1 ? ?
1
2)
?
?
?
?
A = ?3 0 ? ?
2 ; B = ?0 ? 1 2 ?
?4 3
7 ?
?
?
?1 2
3 ?
?
?
Hitung:
a) 2A + 3B
b) 0,1A – 1,2B
Jawab:
?2 1
2 ?
?1 1 ? ?
1
a)
?
?
?
?
2A + 3B = 2 ?3 0 ? ?
2 + 3 ?0 ? 1 2 ?
?4 3
7 ?
?
?
?1 2
3 ?
?
?
?4 2
4 ?
?3
3
? ?
3

= ?
?
?
?
?6 0 ? ?
4 + ?0 ? 3 6 ?
?8 6 14 ?
?
?
?3 6
9 ?
?
?
?7
5
1 ?

= ?
?
?6 ? 3 2 ?
?11 12
?
?
?
23
?2 1
2 ?
?1 1 ? ?
1
b)
?
?
?
?
0,1A – 1,2B = 0,1 ?3 0 ? ?
2 - 1,2 ?0 ? 1 2 ?
?4 3
7 ?
?
?
?1 2
3 ?
?
?
? 2
,
0
1
,
0
2
,
0
? ? 2
,
1
,
2 4
6
,
3
?

= ?
? ?
?
? 3
,
0
0
? 2
,
0 ? - ? 0 ? 2
,
1
,
2 4 ?
? 4
,
0
3
,
0
7
,
0
?
?
? ? 2
,
1
2
,
1
?
?
?
?
2
,
1
MAT. 01. Matriks


16
? ? 1
? 1
,
1
? 4
,
1 ?

= ?
?
? 3
,
0
2
,
1
?
?
6
,
2

?? 8
,
0
? 1,
2
?
?
?
?
9
,
2
Dari contoh di atas maka diperoleh sifat-sifat sebagai berikut:

Jika A, B suatu matriks dan r, s skalar, maka:
1) (r

? s) A
= rA ? sA
2) r(A

? B)
= rA ? rB
3) r(sA)
= s(rA)
= (rs) A
4) 1. A
= A. 1
= A

5) (-1) A
= A (-1)
= -A

Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi. Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka
hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai
berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i
dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang
bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama kemudian
tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.
Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matriks dapat
dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris
matriks kedua. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut: A

mxr x B
rxn = C
mxn
Cara perkaliannya adalah dengan mengalikan baris matriks A dan kolom
matriks bersama-sama kemudian menambahkan hasil kali yang diperoleh.
Contoh 16
?? 6?
?
? ?
1?
?
1)
4
A = ?2
?1 ; B = ? ? ; P = ?3 4 ?1 ?0 ; Q = ? ?
?2?
?? 3?
? ?
? 5 ?

MAT. 01. Matriks


17
Hitung:
a) A x B
b) P x Q
Jawab:
?1?
a) A x B = ?2 ?
1 ? ? = ((2x1) + (1x2)) = (2 + 2) = (4) = 4
?2?
?? 6?
? ?
?
b)
4
P x Q = ?3 4 ? 1
?
0 ?
? = -18 – 16 + 3 + 0 = -31
?? 3?
? ?
? 5 ?
?6 0
?
0
?
?
?
5
?
2)
6
1
0
3
A = ?2
?1 ; B = ? ? ; P = ?6 5 4 ?3 ; Q = ?
?
?3
?
4
?2 2
?
3
?
?
?0 1
?
1
Hitung:
a) A x B
b) P x Q
Jawab:
?5
?
a)
6
AxB = ?2
?1 ? ?= ?(2x )5? 1(x )3 (2x )6 ?1x ?)
4 = ?10 ? 3 12 ? ?
4
?3
?
4

= ?13
?
16
?6 0
?
0
?
?
b)
1
0
3
P x Q = ?6 5 4
?3 ?
?
?2 2
?
3
?
?
?0 1
?
1

=
?6(x )6? 5(x)1? 4(x )2? 3(x )0 6(x )0? 5(x )0? 4(x )2? 3(x)1 6(x )0? 5(x )3? 4(x )3? 3(x ?)
1

= ?36 ? 5 ? 8? 0 0 ? 0 ? 8? 3 0 ? 15? 12 ? ?
3

= ?49 11
?
30
?a b c d?
?4?
?5
?
4
?
?
?
? ?
5?
3)
?
?
e
f
g
h
3
A =
?
?
? ?
?4
?
3 ; B = ? ? ; P =
; Q =

?i
j
k
l ?
?2?
?
?4?
3
?
?
?
2
?
?
? ?
?m n o p?
?1 ?
MAT. 01. Matriks


18
Hitung:
a) A x B
b) P x Q
Jawab:
?5
?
4
? 5
( x )
5 ? (4x )
4 ?
? ?
41
?5?
a)
?
?
?
?
? ?
A x B = ?4 ?
3 ? ?= ?(4x )
5 ? (3x )
4 ? = ? ?
32
?
?4?
3
?
?
?
2
? 3
( x )
5 ? (2x )
4 ?
?
?
? ?
? ?
23
b) P x Q = ……………

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riel berlaku
juga untuk matriks, namun terdapat beberapa perkecualian. Salah satu dari
perkecualian itu terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan riel a dan b,
berlaku ab = ba yang sering disebut hukum komutatif untuk perkalian. Akan
tetapi, pada matriks AB dan BA tidak selalu sama. Ada dua hal pokok yang
menyebabkan ketidaksamaan AB dan BA yaitu:
1. Hasil dari AB didefinisikan, namun BA tidak terdefinisi. Ini adalah kasus jika
A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4.
2. Hasil AB dan BA didefinisikan tetapi tiap-tiap entri/elemen yang
bersesuaian pada kedua matriks itu tidak sama.
Contoh 17
?? 1
?
?1
?
A =
0
2
?
? ; B = ?
?
? 2
?
3
?3
?
0
Hitung: AB dan BA, Kemudian bagaimana hasil AB dan BA?
Jawab:
?? 1
? ?1
?
?? 1 ? 2?
AB =
0
2
?
? ?
? = ?
?
? 2
?
3
?3
?
0
?11
4 ?
?1
? ?? 1
?
? 3
?
BA =
2
0
6
?
? ?
? = ?
?
?3
?
0
? 2
?
3
?? 3
?
0

Dari hasil AB dan BA di atas disimpulkan bahwa AB ? BA.

MAT. 01. Matriks


19
Di bawah ini sifat-sifat yang berlaku pada perkalian matriks yaitu:
1. A x B = B x A
An = AAA………….A ; n = bilangan asli

(sebanyak n factor)
2.

ABC = A(BC) = (AB)C ………Hukum asosiatif untuk perkalian
3.

(B+C) = AB + AC dan (B+C)A = BA + CA ………Hukum

distributif


c. Rangkuman 1
1. Jenis-jenis matriks adalah matriks nol, matriks baris, matriks kolom,
matriks persegi.
2. Matriks persegi terdiri dari matriks identitas, matriks atas, matriks
bawah, matriks diagonal.
3. matriks tranpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan
baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A t. Jadi dapat
dituliskan dalam rumus: A mxn = aij ? Atnxm
4. Pada penjumlahan matriks berlaku
A + B = B + A ? Komutatif
(A+B)+C = A + (B+C) ? Asosiatif
A + (-A) = (-A) + A = 0 (Matriks Nol)
A + 0 = 0 + A = A
A + (-B) = A - B
5. Pada perlakian matriks berlaku
Jika A, B suatu matriks dan r, s skalar, maka:
(r ? s) A
= rA ? sA
r(A ? B)
= rA ? rB
r(sA)
= s(rA)
= (rs) A
1. A
= A. 1
= A
(-1) A
= A (-1)
= -A
MAT. 01. Matriks


20
An = AAA………….A ; n = bilangan asli
(sebanyak n factor)
ABC = A(BC) = (AB)C ………Hukum assosiatif untuk perkalian
(B+C) = AB + AC dan (B+C)A = BA + CA ………Hukum distributif

d. Tugas Latihan 1
1. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut:
? 1
2? ? z
x ?
? 8x
4 ?
? x ? 6?
?
?
?
?
=
-

??
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
2
3? ? z
3
x ?
?16y 9z ? ?2y 5z ?
Tentukan nilai dari y!
? 2
5 ?
? 3
5 ?
2. Misalkan P = ??
?
? dan Q =

??
?
?
?
?
1 ? ?
3
?? 1 ? 2?
Hitunglah:
a) PQ2!
b) Apakah PQ2 = Q!
c) Buktikan PQ = I!
?1 1?
?1 1?
3. Jika A = ??
?
? dan B =
, maka hitunglah nilai dari:
?
?
?
?
?
2
0?
?2 0?
(A – B) (A + B) + (B – A) (B + A )?
?
?2 3 4??
4. Tentukanlah determinan dari matriks ?1 2 2??
?
?
?2 1 3?
?1 0?
5. Jika diketahui N =??
?
?, maka tentukanlah invers dari matriks N atau
?2 3?
N-1!
6. Diberikan dua buah matriks yaitu:
?4 ? 1?
? a
x?
A = ??
?
? dan B =

?
?
?
?
?
3
? 2?
?? b c?
Jika A -1 = BT , maka tentukanlah nilai dari b!

MAT. 01. Matriks


21
e. Kunci Tugas 1


? 1
2? ? z
x ?
? 8x
4 ? ? x
? 6?
1. ??
?
?
=
-

??
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
2
3? ? z
3
x ?
?16y 9z ? ?2y 5z ?
? z ? 6z
x ? 2x ?
? 7x 10?
?
?
?
? =

??
?
?
?
?
2z ? 9z
? 2x ? x
3 ?
?14y 4z?
?7z
x
3 ?
? 7x 10?
?
?
?
? =

?
?
?
?
?
7z
x ?
?14y 4z?
Sehingga dapat dibuat persamaan sebagai berikut:
3x = 10 ? x = 10 ; x = 4z ? 4z = 10 ? z = 10
3
3
12
14y = 7z ? 14y = 7. 10 ? y = 7.10 = 5
12
14.12
12

2. adalah:
? 3
5 ? ? 3
5 ?
? 4
5 ?
a) Q2 = ??
?
?
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
1 ? 2? ?? 1 ? 2?
?? 1 ? ?
1
? 2
5 ? ? 4
5 ?
? 3
5 ?
PQ2 = ??
?
?
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
1 ? ?
3 ?? 1 ? ?
1
?? 1 ? 2?
b) ya
? 2
5 ? ? 3
5 ?
?1 0?
c) PQ = ??
?
?
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
1 ? ?
3 ?? 1 ? 2?
?0 1?

?1 1? ?0 1 ?
?1 0?
3. A-B = ??
?
?-
=

?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
0? ?1 ? ?
1
?1 1?
?1 1?
?1 1?
?1 2 ?
A+B = ??
?
?+
=

?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
0?
?2 0?
?3 ? ?
1
?1 0? ?1 2 ?
?1 2?
(A-B)(A+B) = ??
?
?
=

?
?
?
?
?
?
?
?
?
1 1? ?3 ? ?
1
?4 1?
?1 2 ?
A+ B = B + A = ??
?
?…….sifat komutatif pada penjumlahan
?3 ? ?
1
MAT. 01. Matriks


22
?1 1?
?? 1 ? ?
A – B = -(B-A) = -
1
?
?
?
? =

?
?
?
?
?
1 0?
?? 1 0 ?
?? 1 ? ? ?1 2 ?
?? 1 ? 2?
(B-A)(B+A) =
1
?
?
?
?
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0 ? ?3 ? ?
1
?? 4 ? 1?
sehingga:
?1 2?
?? 1 ? 2?
?0 0?
(A-B)(A+B)+ (B-A)(B+A) = ??
?
?+
=

?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
1?
?? 4 ? 1?
?0 0?

?
?2 3 4??
4.
2
2
1
2
1
2
det ?1 2 2? = 2
-3
+ 4

?
?
1
3
2
3
2
1
?2 1 3?
= 2(6-2) – 3(3-4)+4(1-4)
= 2(4) – 3(-1) + 4(-3)
= 8+ 3 – 12
= -1
?1 0?
5.
1
0
N = ??
?
? ; det N =
= 3-0 = 3, maka :
?2 3?
2
3
? 3
0?
? 3
0?
? 1
0 ?
N-1 = 1
1
?
?
?
?= ??
?
? = ?
?
?

det N ?? 2 1?
3 ?? 2 1?
? 2
1 ?
?
3
3 ?

?? 2 1?
?? 2 1?
?2
? 1 ?
6.
1
1
? 5
5 ?
A-1 =
?
?
?
?= - ??
?
?=

det A ? ? 3 4?
5 ? ? 3 4?
?3
? 4 ?
? 5
5 ?
?a ? b?
BT = ??
?
?
?x
c ?
?2
? 1 ? ?a ? b?
Karena A-1 = BT maka: ? 5
5 ?
1
1
?
=
? -b = - ? b =
3
? 4 ? ??
?
?
?
?x
c ?
5
5
5
5 ?




MAT. 01. Matriks


23
f. Tes Formatif
? 3 2?
?4 0?
?0 ? ?
1.
1
Misalkan P = ??
?
? ; Q =
dan R =
serta a= -3, b=
??
?
?
?
?
?
?
?
?
1 3?
?1 5?
?4 6 ?
2 masing-masing adalah suatu skalar
Buktikanlah:
a) P+ (Q+R)=(P+Q) + R
b) (a+b)R = aR + bR
2. Dari soal no. 2 di atas. Buktikan bahwa:
a) a(QR)=(aQ)R = Q(aR)
b) P(Q-R) = PQ - PR
3. Dari soal no. 2 di atas. Buktikan bahwa:
(P+Q)t = Pt + Qt
?1 3?
?1 4?
4. Jika A = ??
?
? dan B =
, maka hitunglah nilai dari:
?
?
?
?
?
2
0?
?5 0?
(A – B) (A + B) + (B – A) (B + A)?
5. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut:
? 1
2? ? x 1 ?
?x
2 ?
?
8
3?
?
?
?
?
=
+

??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
3? ?4 y?
?4 ? 5?
?? 2x ? 8 9?
Tentukan nilai dari y!

g. Kunci Jawaban Formatif
? 3 2?
?4 0?
?0 ? ?
?4 ? ?
1.
1
1
a) P = ??
?
? Q+R =
+
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1 3?
?1 5?
?4 6 ?
?5 11?
? 3 2?
?4 0?
?7 2?
P + Q = ??
?
?+
=
sehingga:
??
?
?
?
?
?
?
?
?
1 3?
?1 5?
?0 8?
? 3 2?
?4 ? ?
?7 1 ?
P+(Q+R) =
1
?
?
?
?+
=
………….(1)
??
?
?
?
?
?
?
?
?
1 3?
?5 11?
?4 14?
?7 2?
?0 ? ?
?7 1 ?
(P+Q)+R =
1
?
?
?
?+
=
……………..(2)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
8?
?4 6 ?
?4 14?
MAT. 01. Matriks


24
Dari hasil (1) dan (2) di atas terbukti bahwa: P+ (Q+R)=(P+Q) + R

?0 ? ?
b)
1
R = ??
?
? dan a= -3, b= 2
?4 6 ?
?0 ? ?
? 0
1 ?
(a+ b)R = -1
1
?
?
?
?=

?
?
?
?
?
4
6 ?
?? 4 ? 6?
?0 ? ? ? 0
3 ?
?0 ? ?
?0 ? 2?
aR = -3
1
1
?
?
?
?=
; bR = 2
=

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
6 ?
?? 12 ? 18?
?4 6 ?
?8 12 ?
sehingga:

? 0
3 ?
?0 ? 2?
? 0
1 ?
aR + bR = ??
?
? +
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
12
? 18?
?8 12 ?
?? 4 ? 6?
maka terbukti bahwa: (a+b)R = aR + bR

2.

? 0 ? 4?
? 0 ? 4? ? 0
12 ?
a) a=-3 ; QR = ??
?
? maka a(QR)= -3
=

?
?
?
?
? ??
?
?
20
29 ?
?20 29 ? ?? 60 ? 87?
?4 0? ?0 ? ?
?? 12
0 ? ?0 ? ?
? 0
12 ?
(aQ)R = -3
1
1
?
?
?
?
=

=
;
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
1
5? ?4 6 ?
? ? 3 ? 15? ?4 6 ?
?? 60 ? 87?
?4 0?
?0 ? ? ?4 0? ? 0
3 ?
? 0
12 ?
Q(aR) =
1
?
?
?
?.-3
=
=

?
?
?
?
? ??
?
? ??
?
? ??
?
?
1
5?
?4 6 ? ?1 5? ?? 12 ? 18? ?? 60 ? 87?
Jadi terbukti bahwa: a(QR)=(aQ)R = Q(aR)

? 3 2?
?4 0? ?0 ? ? ? 4
1 ?
b)
1
P = ??
?
? ; Q-R=
-
=

??
?
?
?
? ??
?
? ??
?
?
1 3?
?1 5? ?4 6 ? ?? 3 ? ?
1
?14 10?
? 3 2? ?0 ? ?
? 8
9 ?
PQ =
1
?
?
?
? ; PR =
=

??
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
1 15 ?
?? 1 3? ?4 6 ?
?? 4 19?
Dengan menghitung nilai P(Q -R) dan PQ – PR dapat dibuktikan
bahwa:
P(Q-R) = PQ – PR

MAT. 01. Matriks


25
?7 2?
?7 0?
?3 ? ?
3.
1
P+Q = ??
?
? maka (P+Q)t =
sedangkan Pt =
dan
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
8?
?2 8?
?2 3 ?
?4 0?
?4 1?
Q=??
?
?maka Qt =
sehingga:
?
?
?
?
?
1
5?
?0 5?
?3 ? ? ?4 1?
?7 0?
Pt + Qt =
1
?
?
?
?+
=
= (P+Q)t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
3 ?
?0 5?
?2 8?
?1 3? ?1 4?
? 0
? ?
4.
1
A - B = ??
?
?-
=

?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
0? ?5 0 ?
?? 3 0 ?
?1 3?
?1 4?
?2 7?
A + B = ??
?
?+
=

?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
0?
?5 0?
?7 0?
? 0
? ? ?2 7?
?0 ? ?
(
)
7
0 ? 0 ?
?? 7
0 ?
(A-B)(A+ B) =
1
?
?
?
?
=
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
0 ? ?7 0?
? ? 6 ? 0 ? 21? 0?
?? 6 ?
?
21
?2 7?
A+ B = B + A = ??
?
?…….sifat komutatif pada penjumlahan
?7 0?
? 0
? ?
?0 1?
?0 1? ?2 7?
A – B = -(B-A) = -
1
?
?
?
? =
, (B-A)(B+ A) =

??
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
3
0 ?
?3 0?
?3 0? ?7 0?
?7 0 ?
= ??
?
?
?6
?
21
sehingga:
?? 7
0 ?
?7 0 ?
?0 0?
(A-B)(A+B)+ (B-A)(B+A) = ??
?
?+
=

??
?
?
?
?
?
?
?
?
6
?
?
21
?6
?
21
?0 0?
? 1
2? ? x 1 ?
?x
2 ?
?
8
3?
5. ??
?
?
=
+

??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
3? ?4 y?
?4 ? 5?
?? 2x ? 8 9?
? x ? 8
1 ? 2 y ?
? x ? 8
5 ?
?
?
?
? =

??
?
?
?
?
2x ? 12 ? 2 ? 3 y ?
?? 2x ? 12 4?
?7z
x
3 ?
? 7x 10?
?
?
?
?
=

?
?
?
?
?
7z
x ?
?14y 4z?
Sehingga dapat dibuat persamaan sebagai berikut:
1+ 2y = 5 ? 2y = 5-1= 4 ? y = 4 = 2 atau
2
-2+ 3y = 4 ? 3y = 4+ 2 = 6? y = 6 = 2
3
MAT. 01. Matriks


26
2. Kegiatan Belajar 2
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:
? Menghitung determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks, dan
invers matriks.
? Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

b. Uraian Materi

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
Definisi. Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan
dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det (A) sebagai jumlah hasil kali
elementer bertanda dari A. Jumlah det (A) dinamakan determinan A.
Dari definisi di atas, determinan matriks dapat dijelaskan sebagai suatu
skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks dengan operasi tertentu
(jumlah hasil kali elementer bertanda dari matriks tersebut), yang merupakan
karakteristik matriks.
Untuk lebih jelasnya marilah kita tinjau contoh berikut:
?a
a
a
11
12
13 ?
?a
a
11
12 ?
A =
?
?
?
? ; B = a
a
a

?a
a
? 21
22
23 ?
21
22 ?
?a
a
a ?
? 31
32
33 ?
?a
a
11
12 ?
Maka: det(A) = det ?
? = a11a22 + (-a21a22) = a11a22 - a21a22
?a
a
21
22 ?
?a
a
a
11
12
13 ?
det(B) = det ?
?
?a
a
a
= a
21
22
23 ?
11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 –
?a
a
a ?
? 31
32
33 ?
a12a21a33 – a11a23a32



MAT. 01. Matriks


27
Determinan Matriks berordo 2 x 2
?a b?
?a b?
Misal A = ?
? maka det A = det ?
? = ad – bc
?c d?
?c d?
Contoh1
Tentukan determinan matriks-matriks berikut ini.
?3
?
a)
4
A = ?
?
?1
?
2
?2 ? ?
b)
1
B = ?
?
?6 ? ?
3
?? 4 ? ?
c)
3
C = ?
?
?? 2 1 ?
Jawab:
?3
?
a)
4
det A = det ?
? = (3x2)-(4x1) = 6 – 4 = 2
?1
?
2
?2 ? ?
b)
1
det B = det ?
? = (2x(-3)) – ((-1)x6) = -6 – (-6) = -6 + 6 = 0
?6 ? ?
3
?? 4 ? ?
c)
3
det C = det ?
? = ((-4)x1) – ((-3)x(-2)) = -4 – 6 = -10
?? 2 1 ?

Determinan Matriks berordo 3 x 3
?a b c ?
Misalkan A = ?
?
?d e f ? maka besar det (A) dapat dihitung dengan dua cara:
?g h i ?
?
?

(-) (-) (-)
?a b c a b?
Cara I : ?
?
?d e f d e?
?g h i g h?
?
?

(+) (+) (+)
Determinan Matriks melalui cara di atas, diperoleh dengan menjumlahkan
hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan
hasil kali panah-panah yang mengarah ke kiri.
MAT. 01. Matriks


28
Maka det (A) = acf + bfg + cdh – gec – hfa – idb
(+) (-) (+)
?a b c ?
Cara II: ?
?
?d e f ?
?g h i ?
?
?
Maka det (A) = a e f - b d
f + c d e
h
i
g
i
g
h
Contoh 2
?3 1
?
2
1)
?
?
A = ?1 1 ?
1 , hitung det(A) dengan dua cara?
?2 3
?
?
?
1
Jawab:
?3 1 2 3
?
1
Cara I : ?
?
?1 1 1 1
?
1
?2 3 1 2
?
?
?
3
sehingga det (A) = (3x1x1) + (1x1x2) + (2x1x3) – (2x1x2) –(3x1x3)-
(1x1x1)

= 3 + 2 + 6 – 4 – 9 – 1

= -3
Cara II: det(A) = 3 1 1 - 1 1 1 + 2 1 1
3 1
2 1
2
3

= 3 (1-3) – (1-2) + 2 (3-2)

= 3 (-2) – (-1) + 2(1)

= -6 + 1 + 2

= -3
?1 2
?
3
2)
?
?
Hitung determinan matriks dari B = ?1 0 ?
1 dengan menggunakan dua
?2 4
?
?
?
6
cara?


MAT. 01. Matriks


29
Jawab :

Teorema. misalkan A adalah suatu matriks n x n.
(a) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan
konstanta k, maka det (A) = k det (A).
(b) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan,
maka det (A) = - det (A).
(c) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A
ditambahkan pada baris yang lain, maka det(A’) = det (A).

Contoh3

?1 2
?
3
?4 8
?
12
?0 1
?
4
? 1
2
?
3
A = ?
?
?
?
?
?
?
?
?0 1
?
4 ; B = ?0 1 4 ? ; C = ?1 2
?
3 ; D = ?? 2 ? 3 ?
2
?1 2
?
?
?
1
?1 2 1 ?
?
?
?1 2
?
?
?
1
? 1
2
?
?
?
1
Jika det (A) = -2, tentukan determinan matriks-matriks yang lain
menggunakan sifat-sifat di atas?

Jawab:
Matriks B dihasilkan dengan mengalikan baris ke-1 matriks A dengan 4.
Sehingga sesuai sifat di atas, det(B) = 4 x det (A) = 4 x (-2) = -8.
Matriks C dihasilkan dengan menukar baris ke-1 dan baris ke-2. Sehingga
sesuai dengan sifat di atas, det (C) = - det (A) = - (-2) = 2.
Matriks D dihasilkan dengan mengalikan –2 baris ke-1 dari A, kemudian
ditambahkan pada baris ke-2. Sehingga menurut sifat di atas, det (D) = det
(A) = -2.

MINOR, KOFAKTOR DAN ADJOIN MATRIKS
Definisi. Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan
oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah
MAT. 01. Matriks


30
baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh
Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

Contoh 4
?1 4
8 ?
A = ?
?
?2 5
6 ?
?3 1 ? ?
?
?
4
1
4
8
Minor entri a
5
6
11 adalah M11 = 2
5
6 =
= -26
1
? 4
3
1
? 4
Kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1 M11 = M11 = 26
1
4
8
Demikian juga, minor entri a
1 8
32 adalah M32 = 2
5
6 =
= -10
2
6
3
1
? 4
Kofaktor a32 adalah C32 = (-1)3+2 M32 = M32 = -(-10) = 10

Definisi. Jika A adalah suatu matriks n x n dan Cij adalah kofakor aij, maka
?C11 C12 ?
C n
1 ?
?
?
21
22 ?
matriks ?C
C
C n
2 ? dinamakan matriks kofaktor A. Tranpose
? ?
?
? ?
?
?
?Cn1 Cn2 ?
Cnn?
matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).

Contoh 5
?2 ? 4 0 ?
A = ?
?
?1
6
3 ? maka kofaktor A adalah
?3
2
? ?
?
?
1
C11 = -12
C12 = -10
C13 = -7
C21 = 4
C22 = -2
C23 = 16
C31 = -12
C32 = 6
C33 = 17


MAT. 01. Matriks


31
Sehingga matriks kofaktor adalah:
?? 12 ? 10 ? 7?
?
?
? 4
? 2 16 ?
?? 12
6
17 ?
?
?

sedangkan adjoin A m erupakan tranpose matriks kofaktor yaitu:
?? 12
4
? 12?
?
?
?? 10 ? 2
6 ?
?? 7 16
17 ?
?
?

INVERS MATRIKS
Teorema. Jika A adalah matriks persegi yang dapat dibalik, maka
A-1 =
1
adj(A)
det( )
A
Invers Matriks berordo 2 x 2
?a b?
? d
? ?
Misalkan A =
1
1
b
?
? maka A-1 =
adj (A) =
?
?
?c d?
det A
ad ? bc ?? c
a ?
Contoh 6
?4
?
A =
3
?
? tentukan invers matriks A?
?3
?
2
Jawab:
? 2 ? ?
? 2 ? ?
?? 2
3 ?
A-1 = 1
3
3
?
= -1 ?
? = ?
?
8 ?
?
9 ?? 3
4 ?
?? 3 4 ?
? 3
? ?
4

Invers Matriks berordo 3 x 3
Ada dua cara mencari invers matriks yaitu:
1.
1
Menggunakan rumus A-1 =
adj(A)
det( )
A
2. Menggunakan reduksi matriks atau metode penyapuan dengan langkah-
langkah sebagai berikut:
MAT. 01. Matriks


32
a) Membagi baris pertama dengan elemen yang ada dalam kolom
pertama; gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol
pada kolom pertama dari setiap baris yang lain.
b) Membagi baris kedua dengan elemen yang ada dalam kolom kedua;
gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada
kolom kedua dari setiap baris yang lain.
c) Membagi baris ke-n dengan elemen yang ada dalam kolom ke-n;
gunakanlah baris yang dihasilkan untuk memperoleh nilai nol pada
kolom ke-n dari setiap baris yang lain.

Contoh 7
? 1
3
3 ?
Carilah invers dari matriks A = ?
?
? 0 ? 2 ? ?
3 menggunakan dua cara?
?? 1 ? 2 ? ?
?
?
2
Jawab:
?
?
?
?
Cara I : det(A) = 1 2
3 - 3 0
3 + 3 0
2
? 2 ? 2
? 1 ? 2
? 1 ? 2

= 1(-2) –3(-3) + 3(-2)

= -2 + 9-6

= 1
kofaktor A adalah
C11 = -2
C12 = 3
C13 = -2
C21 = 0
C22 = 1
C23 = -1
C31 = -3
C32 = 3
C33 = -2
?? 2 3 ? ?
2
?? 2 0 ? ?
3
matriks kofaktor A adalah: ?
?
?
?
? 0 1 ? ?
1 dan adj(A)= ? 3
1
3 ?
?? 3 3 ? ?
?
?
2
?? 2 ? 1 ? ?
?
?
2

?? 2 0 ? ?
3
?? 2 0 ? ?
3
Jadi A-1 = 1 ?
?
?
?
? 3
1
3 ? = ? 3
1
3 ?
1 ?? 2 ? 1 ? ?
?
?
2
?? 2 ? 1 ? ?
?
?
2
MAT. 01. Matriks


33

Cara II:

1
3
3
1
0
0
Langkah I 0 ? 2 ? 3 0 1 0
? 1 ? 2 ? 2 0 0 1
0
1
1
1

3
3
0
2
2
1
3 3 3
1
? 1 0
0
1
Langkah II
2
2
0
? 2 ? 3 0 1 0
0
1
11
0
1 1 0
1
2
2

? 3
3
1
0
1
0
2
2
?? 2 0 ? ?
3
Langkah III
3
? 1
?
?
0
1
0
0 jadi A -1 = 3
1
3

2
2
?
?
? 1
1
?? 2 ? 1 ? ?
?
?
2
0
0
1
1
2
2


PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
LINIER DENGAN
MENGGUNAKAN MATRIKS
Teorema. (Aturan Cramer) jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n
persamaan linier dalam n bilangan tidak diketahui sehingga det(A) ? 0, maka
sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah:
x
det( A )
det( A )
det( A )
1 =
1
, x2 =
2
, … ,xn =
n

det( )
A
det( )
A
det( A)
di mana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan
entri-entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri dalam matriks.
Dari teorema di atas, dapat dijelaskan penyelesaian sistem persamaan
linier sebagai berikut:
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Misalkan diketahui sistem persamaan linier dengan dua variabel
ax + by = p × d adx + bdy = pd
MAT. 01. Matriks


34
cx + dy = q × b bcx + bdy = bq
(ad-bc)x = pd – bq
x = pd ? bq
ad ? bc
p
b
x = q d = ? x
a
b
x
c
d
sedangkan untuk mencari nilai variabel y, dicari dengan cara seperti di atas
yaitu.
ax + by = p × c acx + bcy = cp
cx + dy = q × a acx + ady = aq
(bc-ad)x = cp – aq
y = aq ? cp
ad ? bc
a
p
y = c q = ? y
a
b
y
c
d
?a b?
? ?
? disebut determinan utama
?c d?

Contoh 8
Selesaikan sistem persamaan berikut:
a). 3x + 4y = 7 b) 3x1 – 4x2 = -5
5x – 2y = 3
2x1 + x2 = 4
Jawab:
7
4
?
a) x = ? x = 3
2 = ? 26 = 1
x
3
4
? 26
5
? 2
MAT. 01. Matriks


35
3
7
y = ? y = 5 3 = ? 26 = 1
y
3
4
? 26
5
? 2
Jadi nilai x dan y berturut-turut adalah 1 dan 1.
b) x1 = ………
x2 = ……..
Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Misalkan diketahui sistem persamaan linier tiga variabel
ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q
gx + hz + iz = r
a
b
c
? = d e f disebut determinan utama
g
h
i
p
b
c
a
p
c
a
b
p
? x = q e f ; ? y = d q f ; ? z = d e q
r
h
i
g
r
i
g
h
r
x = ? x ; y = ? y ; z = ? z
x
y
z
Contoh 9
1. Selesaikan sistem persamaan berikut:
2x + 3y – z = -7
x - y + z = 6
3x + y – 2z = -5
Jawab:
2
3
? 1
?
? =
1
1
1
1
1
? 1
1
? 1 1 = 2
- 3
-1

1
? 2
3 ? 2
3
1
3
1
? 2
= 2 (1) –3 (-5) –1(4)
= 2 + 15 – 4
= 13
MAT. 01. Matriks


36
? 7 3
? 1
?
?
? x =
1
1
6
1
6
1
6
? 1 1 = -7
- 3
-1

?
?
?
?
?
1
2
5
2
5
1
5
1
? 2
= -7 (1) –3 (-7) –1(1)
= -7 + 21 – 1
= 13
2
? 7 ? 1
? y =
6
1
1
1
1
6
1
6
1 = 2
+ 7
-1

? 5 ? 2
3 ? 2
3 ? 5
3
? 5 ? 2
= 2 (-7) + 7 (-5) –1(-23)
= -14 - 35 + 23
= -26
2
3
? 7
?
? z =
1
6
1
6
1
? 1
1
? 1 6 = 2
- 3
- 7

1
? 5
3 ? 5
3
1
3
1
? 5
= 2 (-1) –3 (-23) + 7(4)
= -2 + 69 - 28
= 39
x = ? x = 13 ; y = ? y = ? 26 = -2 ; z = ? y = 39 = 3
x
13
y
13
y
13
Jadi HP { 1, -2, 3 }

2. Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1 + 2x3
= 6
-3x1 + 4x2 + 6x3
= 30
-x1 – 2x2 + 3x3
= 8
Jawab:
? = ………..
? x1 = ………….
? x2 = ………….
? x3 = ………….
MAT. 01. Matriks


37
x
?x
? x
? x
1 =
1 = ………… ; x
2 = ………… ; x
3 = …………
?
2 = ?
3 = ?
HP { x1=…., x2= …, x3= …)

c. Rangkuman 2
?a
a
11
12 ?
1. det(A) = det ?
? = a11a22 + (-a21a22) = a11a22 - a21a22
?a
a
21
22 ?
?a
a
a
11
12
13 ?
det(B) = det ?
?
?a
a
a
= a
21
22
23 ?
11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31
?a
a
a ?
? 31
32
33 ?
– a12a21a33 – a11a23a32
2. A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan
didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i
dan kolom ke j dicoret dari A. bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan
dinamakan kofaktor entri aij.
3. Jika A adalah suatu matriks n x n dan Cij adalah kofakor aij, maka matriks
?C11 C12 ?
C n
1 ?
?
?
?C21 C22 ?
C n
2 ? dinamakan matriks kofaktor A. Tranpose matriks ini
? ?
?
? ?
?
?
?Cn1 Cn2 ?
Cnn?
dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).
4. A-1 =
1
adj(A)
det( )
A
5. jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n
bilangan tidak diketahui sehingga det(A) ? 0, maka sistem tersebut
mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah
x
det( A )
det( A )
det( A )
1 =
1
, x2 =
2
, … ,xn =
n

det( )
A
det( )
A
det( A)
di mana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-
entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

MAT. 01. Matriks


38

d. Tugas Latihan 2
?5
?
3
1. A = ?
? tentukan det (A) dan invers matriks A?
?3
?
2

? 1
1
?
3
2.
?
?
A = ? 0 ? 2 ?
3 , hitung det(A)
?? 1 ? 2
?
?
?
0

? 1
6
3 ?
3.
?
?
Carilah invers dari matriks A = ? 0 ? 2 3 ?
?? 1 ? 2 ? ?
?
?
2
4. Tentukan penyelesaian dari persamaan linier berikut ini dengan
menggunakan determinan:
?1 2? ?x?
? 7 ?
?
?
?
?
=

?
?
? ?? ?? ??
1 3? ?y?
? ?
11
5. Tentukan persamaan matriksnya:
a. Jika diketahui a = -3x + y ; b + x = 0!
b. Jika diketahui –3x –y = a ; x = b!

e. Kunci Tugas 2

1. det(A) = 10 – 9 = 1 ,
? 2 ? ?
? 2 ? ?
? 2 ? ?
A-1 = 1
3
3
3
?
? = 1 ?
? = ?
?
1 ?? 3
5 ?
?? 3 5 ?
?? 3 5 ?
?3 ? 2
?
4
2. A = ?
?
1 1
1 1
1
1
?1
1
?
1 , det(A) = 3
+ 2
- 4

?
0 1
2 1
2 0
2
0
?
?
?
1

= 3 (1-0) + 2(1-2) - 4 (0-2)

= 3 – 2 + 8

= 9
MAT. 01. Matriks


39
? 1
1
?
3
3. Untuk menghitung invers dari matriks A = ?
?
? 0 ? 2
?
3 , kita hitung
?? 1 ? 2
?
?
?
0
dulu det(A)
?
?
?
det(A) = 1 2 3 - 1 0
3 + 3 0
2
? 2 0
? 1 0
? 1 ? 2

= 1(6) – (-6) + 3(-2)

= 6 + 6 - 6

= 6
kofaktor A adalah
C11 = 6
C12 = -3
C13 = -2
C21 = -6
C22 = 3
C23 = 0
C31 = 9
C32 = -3
C33 = -2
? 6
? 3 ? ?
2
matriks kofaktor A adalah: ?
?
?? 6 3
0 ? dan adj(A) =
? 9
? 3 ? ?
?
?
2
? 6
? 6
9 ?
?
?
?? 3
3
? ?
3
?? 2 0 ? ?
?
?
2
? 6
? 6
9 ?
Jadi A -1 = 1 ?
?
?? 3
3
? ?
3 , sederhanakan sendiri.

6 ?? 2 0 ? ?
?
?
2
?1 2? ?x?
? 7 ?
4. ??
?
?
=

?
?
? ?? ?? ??
1 3? ?y?
? ?
11
? = 1 2 = 3-2 = 1 ; ? x = 7 2 = 21-22 = -1; ? y = 1 7 = 11-7= 4
1 3
11 3
1 11
x = ? x/? = ? 1= 1 ; y = ? y/? = 4 = 4
1
1
5. a) a = -3x + y ; b + x = 0, maka persamaan matriksnya adalah:
?? 3x ? y?
? a ?
?? 3 1? ?x?
? a ?
??
?
?=
?
=

?
?
?
?
?
?
?
?
? ?? ?? ?? ??
x
?
?? b?
? 1 0? ?y?
?? b?

MAT. 01. Matriks


40
b) –3x –y = a ; x = b ;maka persamaan matriksnya adalah
?? 3x ? y?
?a?
?? 3 ? ? ?x?
?a?

1
?
?
?
?=
?
=

?
?
? ??
?
?
?
? ?? ?? ?? ??
x
?
?b?
? 1
0 ? ?y?
?b?

f. Tes Formatif

1. Tentukanlah determinan dari matriks berikut ini:
?2 3 4?
? 5
0?
?
?
a) ??
?
? b) ?1 2 2?
?? 2 3?
?
?
?2 1 3?
?1 0 4?
?1 2?
?
?
2. Jika diketahui P = ??
?
? dan Q = ?1 2 2? , maka tentukanlah
?2 5?
?
?
?2 1 3?
invers dari matriks P atau P-1 dan Q-1!
3. Diberikan dua buah matriks yaitu:
?3 ? 1?
? a
c ?
A = ??
?
? dan B =

?
?
?
?
?
5
? 2?
?? b d ?
Jika A -1 = BT , maka tentukanlah nilai dari a, b, c dan d!
4. Tentukan penyelesaian dari persamaan linier berikut ini:
?1 0? ?x?
?3?
?
?
?
?
=

?
?
? ?? ?? ??
2
3? ?y?
?4?
5. Tentukan persamaan matriksnya kemudian selesaikan:
a. Jika diketahui a = -3x + y ; b + x = 0 tentukan nilai x dan y!
b. Jika diketahui –3x –y = a ; x = b tentukan nilai x dan y!

g. Kunci Jawaban Formatif
? 5
0?
1. a) det
5
0
?
?
?
? =
= 15 – 0 = 15
?? 2 3?
? 2 3
MAT. 01. Matriks


41
?
?2 3 4??
b) det
2
2
1
2
1
2
?1 2 2? = 2
-3
+ 4

?
?
1
3
2
3
2
1
?2 1 3?

= 2(6-2) – 3(3-4)+4(1-4)

= 2(4) – 3(-1) + 4(-3)

= 8+ 3 – 12

= -1

?1 0 4?
?1 2?
?
?
2. P = ??
?
? dan Q = ?1 2 2?
?2 5?
?
?
?2 1 3?
?1 2?
P =
1
2
?
?
?
? ; det P =
= 5-4 = 1, maka:
?2 5?
2
5
? 5
? 2?
? 5
? 2?
? 5
? 2?
P-1 = 1
1
?
?
?
?= ??
?
? = ??
?
?
det P ?? 2
1 ?
1 ?? 2
1 ?
?? 2
1 ?
?
?1 0 4??
Q =
2
2
1
2
1
2
?1 2 2?; det Q = 1
-0
+ 4
= 1.4-0+4.(-3)= -8
?
?
1
3
2
3
2
1
?2 1 3?
?
?1 0 4??
Q-1 = 1 adj?1 2 2?; karena matriks kofaktornya adalah
det Q
?
?
?2 1 3?
4
1
?
4
? 4 ?
?
?
3??
?
?1 0 4?? ??
8??
?? 4 5 1 ? maka adj ?1 2 2? = ? 1
5
2 ?
?
?
??
?
?
?
?
8
2
2 ?
?2 1 3?
?? 3
1
2 ?
?? 1
1
1 ?
4
? 4 ?
?
?
8?? ? 2
2
?
Q-1 = 1 ? 1
5
2 ? = ?? 1
? 5
? 1 ?
? 8 ?
?
? 8
8
4 ?
?? 3
1
2 ?
? 3
? 1
? 1 ?
? 8
8
4 ?
?3 ? 1?
?? 2 1? ?? 2 1?
3. A-1 = 1
1
?
?
?
?= ??
?
?= ??
?
?
det A ?5 ? 2 ?
1 ?? 5 3?
?? 5 3?
? a
c ?
?a ? b?
B = ??
?
? maka BT =

??
?
?
?
?
b
d ?
?c
d ?
MAT. 01. Matriks


42
?? 2 1? ?a ? b?
Karena A-1 = BT maka: ??
?
?=

??
?
?
?
?
5 3? ?c
d ?
Sehingga:
a = -2 , -b = - 1 ? b = 1 , c = -5 dan d = 3
5
5
?1 0? ?x?
?3?
4. ??
?
?
=

?
?
? ?? ?? ??
2
3? ?y?
?4?
? = 1 0 = 3-0 = 3 ; ? x = 3 0 = 9-0 = 9 ; ? y = 1 3 = 4-6= -2
2
3
4
3
2
4
x = ? x/? = ? 1= 1 ; y = ? y/? = 4 = 4
1
1
5. a) a = -3x + y ; b + x = 0, maka persamaan matriksnya adalah:
?? 3x ? y?
? a ?
?? 3 1? ?x?
? a ?
??
?
?=
?
=

?
?
?
?
?
?
?
?
? ?? ?? ?? ??
x
?
?? b?
? 1 0? ?y?
?? b?
b) –3x –y = a ; x = b ;maka persamaan matriksnya adalah:
?? 3x ? y?
?a?
?? 3 ? ? ?x?
?a?

1
?
?
?
?=
?
=

?
?
? ??
?
?
?
? ?? ?? ?? ??
x
?
?b?
? 1
0 ? ?y?
?b?











MAT. 01. Matriks


43
BAB III. EVALUASI


A. Tes Tertulis

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan singkat dan jelas!
1. Jelaskan apa yang dimaksud pengertian di bawah ini, kemudian berikan
masing-masing contohnya!:
a) Matriks Baris.
b) Matriks Segitiga Atas.
c) Matriks Diagonal.
d) Matriks Identitas.
2. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut:
? 7
6 ?
?3 ? 3?
?1 0?
?
?
?
? = p
+ q
; tentukanlah nilai p dan q!.
??
?
?
?
?
?
?
?
?
4
23?
?2 ? 5?
?0 1?
?2x 3?
?x ? ?
3. Diberikan A =
1
?
?
?
? dan B =
, tentukanlah nilai dari x jika det
?
?
?
?
?
3
x ?
?3 10?
(A) = det (B)!.
?
?3 4 1??
4. Jika matriks ?2 x 5? adalah matriks singular, maka tentukan nilai dari x!.
?
?
?3 2 2?
? 5
a ?
? a
2 ? 2
a ? 8 ?
5. Matriks P = ??
?
? dan Q =
. Tentukan nilai dari c, jika
?
?
?
?
?
b
3
c
5 ?
? a ? 4
a
3 ? b?
2P = QT !.
?a?
?x y? ? 1 ?
6. Diketahui: ?? ?? =
, maka hasil dari: a2 + b2 adalah…..
?
?
?
?
? ?? ??
b ?
?y x? ?? ?
1
? 2 1?
7. Diketahui A = ??
?
? dan A2 + xA + yI = 0; dimana I = matriks identitas
?? 4 3?
dan x,y bilangan bulat. Tentukan nilai x dan y!.
MAT. 01. Matriks


44

B. Kunci Jawaban Tes Tertulis

1. a) Matriks Baris adalah matriks yang mempunyai tepat satu baris,
contoh: ?a b ?
1 dan ?6 5 ? 1
?
3
b) Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang bagian
bawah dari diagonal utama, elemennya nol.
?3 ? 1 4?
?1 3?
?
?
Contoh: ??
?
? dan ?0 2 6?
?0 2?
?
?
?0 0 4?
c) Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang elemen diagonal
utamanya sembarang dan elemen lainnya nol.
? p 0 0?
?5
0 ?
?
?
Contoh: ??
?
? dan ?0 q 0?
?0 ? 4?
?
?
?0 0 r ?
d) Matriks Identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal
utamanya satu dan elemen lainnya nol.
?1 0 0?
?1 0?
?
?
Contoh: ??
?
? dan ?0 1 0?
?0 1?
?
?
?0 0 1?
2. Persamaan matriks pada soal dapat berubah menjadi:
? 7
6 ?
?3p ? 3p?
?q 0?
?
?
?
? =
+

??
?
?
?
?
?
?
?
?
4
23?
?2p ? 5p?
?0 q?
? 7
6 ?
?3p ? q
? 3p ?
?
?
?
? =

??
?
?
?
?
4
23?
? 2 p
? 5p ? q?
sehingga:
2p = -4 ? p = -2
3p + q = 7 ? 3(-2) + q = 7? q = 7 + 6 = 13
Jadi nilai p dan q berturut-turut adalah –2 dan 13.



MAT. 01. Matriks


45
3. Diketahui:
?2x 3?
?x ? ?
A =
1
?
?
?
? ; B =

?
?
?
?
?
3
x ?
?3 10?
Det (A) = det (B)
? 2x . x – 3.3 = x.10 –(-1.3)
? 2x2 – 9 = 10x + 3
? 2x2 –10x –12 = 0
? x2 – 5x – 6 = 0
? (x - 2)(x – 3) = 0
? x = 2 atau x = 3

4. Diketahui:
?
?3 4 1??
?2 x 5? adalah matriks singular.
?
?
?3 2 2?
?
?3 4 1??
Akibatnya: det ?2 x 5? = 0
?
?
?3 2 2?
3 x 5 - 4 2 5 +1 2 x = 3(2x – 10)-4(4-15)+(4-3x)
2
2
3
2
3
2
0
= 6x – 30 + 44 + 4 –3x
0
= 3x – 18
18
= 3x
6
= x
Jadi nilai x adalah 6.

5. Diketahui:
? 5
a ?
? a
2 ? 2
a ? 8 ?
P = ??
?
? dan Q =

?
?
?
?
?
b
3
c
5 ?
? a ? 4
a
3 ? b?
2P = QT , tentukan: c!
MAT. 01. Matriks


46
? 5
a ?
? a
2 ? 2
a ? 4 ?
2 ??
?
? =

?
?
?
?
?
b
3
c
5 ?
? a ? 8
a
3 ? b?
?10
a
2 ?
? a
2 ? 2
a ? 4 ?
?
?
?
? =

?
?
?
?
?
b
6
c
10 ?
? a ? 8
a
3 ? b?
sehingga:
10c = 3a – b ………(1)
2a = a + 4 ? a = 4
6b = a + 8 ? 6b = (4) + 8 = 12 ? b = 2
Karena a = 4 dan b= 2, maka pada persamaan (1):
10c = 3(4) – 2
10c = 12 –2 = 10
c = 1
Jadi nilai c adalah 1.

6. Diketahui:
?a?
?x y? ? 1 ?
?
? ?? =

?
?
?
?
? ?? ??
b ?
?y x? ?? ?
1
?a?
?x ? y?
?
? ?? =
; sehingga: a = (x-y) dan b = (y-x)
?
?
?
?
?
b ?
?y ? x?
maka: a2 + b2 = (x-y)2 + (-(x-y))2 =(x-y)2 + (x-y)2 = 2(x-y)2

7. Diketahui:
? 2 1?
A = ??
?
? dan A2 + xA + yI = 0. Tentukan nilai x dan y!
?? 4 3?

Jawab:
? 2 1? ? 2 1? ? 0
5?
A2 = ??
?
?
=

??
?
?
?
? ??
?
?
4 3? ?? 4 3?
?? 20 5?
? 2 1?
? 2x
x ?
xA = x ??
?
? =

??
?
?
?
?
4 3?
?? 4x 3x?
MAT. 01. Matriks


47
?1 0?
?y 0?
yI = y ??
?
? =
; sehingga:
?
?
?
?
?
0
1?
?0 y?
? 0
5?
? 2x
x ?
?y 0?
A2 + xA + yI = 0 = ??
?
?+
+

??
?
?
?
?
?
?
?
?
20
5?
?? 4x 3x?
?0 y?
Maka: 0 + x + 5 = 0 ? x = -5
Untuk x= -5, y + 2x + 0 = 0 ? y = 0 –2(-5) + 0 = 10
Jadi nilai x dan y adalah –5 dan 10.












MAT. 01. Matriks


48
BAB IV. PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes
praktek untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda
dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini,
maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
Mintalah pada guru untuk uji kompetensi dengan sistem penilaian yang
dilakukan langsung oleh pihak industri atau asosiasi yang berkompeten
apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka
hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan
verifikasi oleh pihak industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil
tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi
dan bila memenuhi syarat anda berhak mendapatkan sertifikat kompetensi
yang dikeluarkan oleh dunia industri atau asosiasi profesi.

MAT. 01. Matriks


49
DAFTAR PUSTAKA


Anton, Howard. 1983. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga

Elizabeth, M.. 1989. Pedoman Pemecahan Aljabar Linier Untuk Mahasiswa.
Jakarta: Erlangga.

Suherman, Erman dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Kontemporer. Bandung:
JICA-IMSTEP.

Sembiring, Suwah. 1996. Kumpulan soal dan pembahasan UMPTN 1992-1996
Rayon A, B, C. Bandung: Ganesha Operation.

MAT. 01. Matriks


50