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Bollettino Degli Utilizzatori Di Software Matematici

Bollettino degli utilizzatori di software matematici
31
N°
I.R.R.E.
Emilia-Romagna
1
aprile 2002
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Bollettino
Indirizzo
Bollettino CABRIRRSAE 2002
IRRE-Emilia Romagna
Via Ugo Bassi, 7 - 40121 Bologna
Tel. (051)22.76.69 - Fax (051)26.92.21
E-mail: cabri@kidslink.scuole.bo.it
Bollettino degli utilizzatori di software matematici
http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/
Gruppo di discussione:
E-mail: cabrinews@kidslink.scuole.bo.it
Fardiconto:
http://kidslink.scuole.bo.it/fardiconto/
Flatlandia:
http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/flatlandia/
La versione elettronica del bollettino è consultabile a
questo indirizzo:
http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/rivista.html
COMITATO SCIENTIFICO
31
N°
Giuseppe Accascina
I.R.R.E.
(Università “La Sapienza” Roma)
Emilia-Romagna
1
aprile 2002
Giulio Cesare Barozzi
(Università di Bologna)
L’IMMAGINE
Mario Barra
(Università La Sapienza - Roma)
“L’immagine , ottenuta col sistema Mathematica, mostra la
Paolo Boieri
finestra del Viviani, intersezione di una sfera con un cilindro di
(Politecnico di Torino)
raggio pari alla metà del raggio della sfera e tangente interna-
mente ad esso.”
Colette Laborde
(IMAG Grenoble)
Gianni Zanarini
ERRATA CORRIGE
(Università di Bologna)
Nel bollettino n. 30, a pagina 11, nella parte finale dell’articolo
COMITATO DI REDAZIONE
Nuovi punti notevoli del triangolo, si trova scritto “…La
relazione tra il punto K e la curva sta nel fatto…”. Il punto qui
Anna Maria Arpinati, Giuliana Bettini,
citato non è K ma X.
Sebastiano Cappuccio, Michele Impedovo,
Giovanni Margiotta, Maria Grazia Masi,
Valerio Mezzogori, Paola Nanetti, Franca
IN QUESTO
Noè, Cristina Silla, Daniele Tasso
NUMERO
Supplemento al n.1, Gennaio Febbraio 2002, di INNOVA-
ZIONE EDUCATIVA bollettino bimestrale dell’Istituto
Regionale di Ricerca Educativi dell’Emilia-Romagna.
Nella sezione Cabri discusso troviamo il resoconto di un
Registrazione Trib. Bo n. 4845 del 24 - 10 - 1980.
lavoro di carattere storico: le biografie di 32 matematici pen-
Direttore resp. Luciano Lelli, Direttore edit. Arnaldo Luisi
sate come un quadro di riferimento ed uno stimolo di appro-
proprietà IRRE/ER.
fondimento nel mondo della geometria e dei numeri.
Relesed
Il materiale pubblicato da CABRIRRSAE
Information
Segue la sezione Come fare con sei lavori dedicati tutti alla
può essere riprodotto, citando la fonte
scuola superiore: la seconda parte dell’articolo comparso nel
Progettazione grafica e videoimpaginazione GRAPHICART
n. 30 del bollettino su nuovi punti notevoli del triangolo
Via Fondazza, 37 - 40125 Bologna
Tel. Seg. Fax 051 30.70.73 - Tel. Seg. Modem 051 42.920.47
segue a pag 3
2
Bollettino
CABRIRRSAE 2002
Per informazioni consultare il sito www.adt.it o inviare un’ e-
SOMMARIO
mail a segreteria@adt.it
• Nei giorni 8-9-10 Novembre 2002 a Castel S. Pietro Terme
(BO), si terrà il 16° Convegno Nazionale Incontri con la
Matematica, sulla didattica della Matematica e sulle sue appli-
cazioni. Il convegno è rivolto ad insegnanti di Scuola
Cabri discusso
dell’Infanzia, Elementare, Media, Superiore e al personale
• Biografie di 29 matematici uomini e 3 matematici donne
direttivo e ispettivo.
Come fare
Durante i lavori si terranno conferenze generali, seminari per
• Due punti notevoli del triangolo (seconda parte)
ogni ordine di scuola, mostre e laboratori.
• Analisi grafica di una distribuzione: un approccio
L’iscrizione avviene direttamente durante il convegno. Gli atti
grafico con la TI-92 Plus
saranno disponibili fin dal giorno dell’inaugurazione. Per
• Il piano inclinato: esperimento di Galilei
avere ulteriori informazioni rivolgersi a:
• La Sezione Aurea
Assessorato alla Cultura, Castel S. Pietro Terme
• Le intersezioni tra esponenziali e logaritmi con la
Tel.: 051 6954124
stessa base (>1)
E-mail: cultura1@cspietro.provincia.bo.it
• Breve storia dei Logaritmi
Sito Internet: http://www.dm.unibo.it
Proposte di lavoro
• Un problema di FLATlandia
La recensione del mese
• CABRIWEB applicazioni
INVIATECI I
VOSTRI ARTICOLI
segue da pag 2
costruiti con Cabri; un lavoro sulla utilizzazione della calcola-
trice grafica TI-92 nell’analisi di una distribuzione di dati; la
C ABRIRRSAE pubblica contributi relativi
all’utilizzo del pacchetto Cabri-géomètre e di
simulazione con Cabri dell’esperimento di Galilei sul piano
altri software matematici, con particolare attenzio-
inclinato; una scheda per una attività di laboratorio sulla
ne alla valenza didattica e all’inserimento nel cur-
sezione aurea e sue applicazioni; uno studio sulle intersezioni
ricolo scolastico.
fra i grafici dell’esponenziale e del logaritmo con l’apporto di
Ogni articolo (non più di 4 cartelle) deve perveni-
re, su supporto magnetico e cartaceo, ad uno degli
Cabri e Derive seguito da un articolo in cui si traccia una breve
indirizzi indicati in copertina, rispettando le
storia dei logaritmi.
seguenti modalità:
Chiude il bollettino una Proposta di lavoro suggerita da una
risposta nell’attività di FLATlandia.
• SUPPORTO CARTACEO
- testo e figure devono essere impaginate secondo
le intenzioni dell’autore (anche in bassa qualità di
C
stampa)
ORSI E SEMINARI
- una stampata delle sole figure in alta qualità di
stampa
- una stampata dei grafici in alta qualità di stampa
• La Commissione Italiana per l’Insegnamento della
- anche le immagini catturate dallo schermo devo-
Matematica (CIIM) organizza il suo 23° Convegno annuale a
no essere accompagnate da una stampata in alta
Loano (SV) dal 3 al 5 Ottobre 2002 presso il Residence
qualità
Loano 2. Il tema del convegno è:
• SUPPORTO MAGNETICO
L’insegnante di matematica nella scuola d’oggi: formazione
- il file di testo in formato Word (estensione .doc,
e pratica professionali.
meglio sarebbe se fosse .mcw) non deve contenere
Il Convegno, come di consueto, prevede conferenze di esperti
le figure che invece devono essere collocate in un
su invito, comunicazioni di insegnanti, tavole rotonde ed
file a parte.
eventi culturali vari.
- altri materiali (tabelle, grafici, ecc.) devono per-
Per qualsiasi chiarimento contattare l’organizzatore del
venire in formato originale, con indicazione del-
Convegno:
l’applicativo che le ha generate, comunque sempre
Giampaolo Chiappini, Istituto per la Matematica Applicata
accompagnate da una stampata di alta qualità.
Tel.: 010 6475682
- altre immagini (tipo quelle tridimensionali) gene-
E-mail: chiappini@ima.ge.cnr.it
rate da qualunque programma, devono essere
esportate come prodotti vettoriali, cioè con esten-
• L’Associazione per la Didattica con le nuove Tecnologie,
sione A.I.
ADT, organizza il 4° Convegno Nazionale: Nuovi obiettivi,
Il materiale inviato non sarà restituito.
curricoli e metodi nella Didattica della Matematica e delle
Scienze.
Siamo ugualmente interessati a ricevere materiali
Il convegno si terrà nei giorni 11-12-13 Ottobre 2002 a
più articolati sull’utilizzo di Cabri; tali materiali
Capitolo, Monopoli (BA) e prevede relazioni generali, comu-
possono essere diffusi mediante la collana
nicazioni e workshop.
“Quaderni di CABRIRRSAE ”.
3
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
dare per potere approfondire alcuni degli itinerari sui
quali è possibile muoversi visitando la mostra stessa.
CABRI DISCUSSO
Uno dei percorsi è quello storico sull’evoluzione del
concetto di curva e sulla matematica che si è sviluppata
intorno ad esso. Si va dalla geometria della retta e del
cerchio degli annodatori di funi egizi, alla geometria che
Biografie di 29
diventa sistema con Euclide ed Apollonio, alla rivoluzio-
ne di Fermat e Cartesio, al calcolo infinitesimale, alla
matematici uomini
moderna geometria frattale. I ragazzi al museo di
e 3 matematici donna
Priverno hanno a che fare con spirali, cicloidi, catenarie,
cerchi osculatori, evolute, evolventi… Vi è una ricchez-
di Raffaele Mauro
za di stimoli per l’attività normale di Matematica da
I T C “A.Bianchini”, Terracina
svolgere nelle classi. Una calcolatrice tascabile TI-92
con ViewScreen diventa un potente strumento per esplo-
rare curve …
La visita al sito della St. Andrew’s fornisce altri spunti
Q uesto lavoro sui più importanti matematici è
stato realizzato a partire da alcune iniziative per
ugualmente interessanti. Si scopre ad esempio che esiste
l’Anno mondiale della Matematica, sviluppate presso
una dettagliata cronologia di
…
l’Istituto Tecnico Commerciale “Bianchini” di
Il mondo dei numeri è affascinante come quello delle
Terracina. In alcune classi, come ampliamento dell’of-
curve. L’ultima delle biografie è quella di Andrew
ferta formativa, si sono realizzate attività tese ad eviden-
Wales, il matematico che ha risolto l’ultimo teorema di
ziare il ruolo della matematica nella storia culturale e a
Fermat; si può considerare che questa biografia sia un
conoscere i personaggi che più hanno contribuito allo
omaggio al numero, così come quella di Talete (la prima
sviluppo della disciplina. Per far questo si è fatto ricorso
biografia) sia un omaggio alla geometria. In realtà, attra-
a tutti gli strumenti a disposizione: classici di storia
verso lo studio di curve, Wales è arrivato alla dimostra-
della matematica, enciclopedie su Cd-Rom, articoli di
zione del teorema di Fermat, a conferma del fatto che i
riviste, mostre, Internet. Per la stesura delle biografie si
vari rami della matematica spesso si alimentano a vicen-
è lavorato essenzialmente con Word e PowerPoint. Le
da. Le 32 biografie sono anche una base per ricostruire
immagini dei matematici - ritoccate con programmi di
l’interesse per i numeri, da quando la disciplina è diven-
grafica - provengono in gran parte dal sito dell’univer-
tata sistema. Parlare di numeri significa parlare di terne
sità scozzese St. Andrew’s (che è stato anche il più auto-
pitagoriche, quadrati magici, numeri primi, numeri di
revole punto di riferimento per le risorse in rete sulla
Fibonacci, sezione aurea, triangolo di Pascal, calcolo
storia della matematica).
infinitesimale, logaritmi, numeri complessi, assiomi di
La scelta delle biografie da presentare nella stesura fina-
Peano, teorema di incompletezza di Gödel …
le non è stata facile, e la responsabilità dell’avere inseri-
Anche questo percorso offre tanti stimoli per l’attività
to o escluso dei personaggi è totalmente mia. In proposi-
concreta di Matematica da svolgere nelle classi. In que-
to però devo sottolineare il fatto di aver comunicato,
sto caso persino una calcolatrice grafico-simbolica come
usando canali diversi, nel settembre 2000 una lista prov-
la TI-92 mostra tutta la sua potenza. Il suo linguaggio di
visoria di 24 nomi, e di aver avuto suggerimenti da deci-
programmazione infatti può essere utilizzato per imple-
ne di colleghi sulle variazioni da apportare.
mentare algoritmi per la ricerca dei numeri primi, per il
Particolarmente significativi sono stati gli interventi in
calcolo del M.C.D., per approssimare , per la genera-
proposito dei colleghi iscritti alla lista cabrinews: questa
zione di terne pitagoriche…
lista originariamente diretta agli utilizzatori di Cabri, o
Tra i 32 matematici compaiono solamente tre donne,
in generale di software matematici, è di fatto oggi un
tuttavia è interessante riflettere sul contributo delle
potente strumento a disposizione per scambi di idee su
donne alla storia della matematica, e in generale al pro-
tutto quanto riguarda la didattica della Matematica.
gresso scientifico.
A poca distanza da Terracina si può visitare il Museo
La mostra Scienziate d’Occidente realizzata dal Centro
per la Matematica di Priverno.
ELEUSI-PRISTEM dell’Università Bocconi di Milano,
Il Museo, come sottolinea il presidente Enrico Giusti,
ospitata a Terracina nel Gennaio 2001, ha dato notevoli
non è un’esposizione di oggetti in bacheche, ma ha un
stimoli in questa direzione. Mi piace poter pensare a
carattere totalmente interattivo, stimola a compiere espe-
queste biografie non come risultato di un lavoro di cui
rimenti, a manovrare strumenti, a dissipare almeno in
ho delineato solo alcune direttrici, ma come a un quadro
parte la fobia della matematica. Ebbene, pensiamo alle
di riferimento, uno strumento in più a disposizione per
possibilità che una o meglio più visite al Museo possono
ulteriori approfondimenti.
4
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
punti D’, E’ ed F’ rispetto ai punti medi dei rispettivi
lati del triangolo e ciò per il fatto, già dimostrato, che il
COME FARE
punto X è simmetrico dell’ortocentro H rispetto al circo-
centro O: quindi per il teorema di Casey i segmenti AR,
BS e CT sono incidenti in un punto Y che è il coniugato
isotomico dell’ortocentro. Si può anche dare una
dimostrazione diretta dell’esistenza del punto Y facendo
uso del teorema di Ceva, ma qui non la riportiamo per-
ché sarebbe un’inutile ripetizione.
Conclusioni
Il baricentro, il circocentro, l’ortocentro e l’incentro
Due punti notevoli del
sono punti noti sin dall’epoca classica, ma si è dovuto
triangolo (seconda parte)
attendere il tardo Rinascimento per la scoperta di nuovi
punti notevoli del triangolo: dal Seicento ad oggi ne
di Mario Luciani
sono stati descritti circa seicento e praticamente tutti i
Liceo Scientifico Statale “G. Suplicio” Veroli (FR)
matematici del passato ne hanno scoperto qualcuno.
Oggi la geometria ha altri campi di indagine, ma essa
non cessa di interessare i matematici. Tanto che tutte le
N ella prima parte [si veda CABRIRRSAE n. 30] ci
siamo occupati di un punto notevole del triangolo
riviste di divulgazione matematica pubblicano continua-
ottenuto dalla concorrenza di tre rette perpendicolari ai
mente articoli su questo affascinante settore della
lati del triangolo. Proseguiamo la trattazione in questa
matematica. Ho trovato questi due punti con il software
seconda parte, approfondendo il problema. Riprendiamo
innanzi tutto la costruzione che storicamente ha condot-
to alla scoperta di X, per arrivare alla descrizione di un
ulteriore punto notevole del triangolo. Mentre per il
primo punto abbiamo utilizzato solo dimostrazioni a
carattere puramente sintetico, questa seconda parte
1
richiede l’uso del teorema di Casey sui coniugati iso-
A
tomici, oppure si dimostra direttamente con il teorema
E
F
T
di Ceva, con una matematica appena un tantino più
complessa di quella trattata nei licei.
M
S
X
Il punto Y
Y
Nella prima parte dell’articolo, si è visto che il punto X
E’
è correlato con la quartica tricuspidata , studiata da
O
P
Steiner, della quale si sono occupati anche Weierstrass
L
ed Eulero. Un secondo punto notevole del triangolo lo si
trova facilmente con Cabri considerando i punti R, S e T
F’
H
di contatto fra il triangolo ABC e la curva di Steiner .
D’
K
I punti R, S e T possono essere facilmente disegnati al
B
R
C
computer, tenendo presenti le considerazioni svolte nella
D
prima parte dell’articolo: R, S e T sono rispettivamente i
piedi di D, E ed F sui lati BC, CA e AB. Infatti quando il
punto P mobile su
coincide con D, E o F, la retta di
Simson è la retta su cui giace, di volta in volta, un lato
del triangolo ABC.
Per la dimostrazione dell’esistenza di Y si può far ricor-
so ad un bel teorema di Casey oggi quasi dimenticato.
Proiettiamo i tre vertici del triangolo ABC sui tre lati
BC, CA e AB. Si trovano i tre punti D’, E’ ed F’. Ebbene
i punti R, S e T sono rispettivamente simmetrici dei
1 Due punti D e D’ entrambi appartenenti ad uno stesso lato del triangolo ABC si dicono coniugati isotomici se sono simmetrici
rispetto al punto medio di quello stesso lato al quale appartengono (si veda [2] e [3]). Ricordiamo il teorema di Casey per cui tre
rette AD’, BE’e CF’ uscenti dai vertici di un triangolo ABC e non coincidenti con alcuno dei suoi lati sono concorrenti se e solo se le
rette AD, BE e CF lo sono quando D e D’, E ed E’, F ed F’ sono coppie di punti coniugati isotomici.
5
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Cabri-Géomètre con poco sforzo e molto divertimento e
ma la loro dimostrazione è piuttosto complessa: chi
ho dimostrato le affermazioni con ragionamenti alla
vuole avrà modo di divertirsi.
portata di uno studente liceale. Ciò mi permette di affer-
•
Il cerchio dei nove punti è tangente internamente alla
mare che questo programma, ed altri simili, consentono
quartica di Steiner in tutti e tre i suoi rami.
agli studenti di scoprire cose nuove, mettendo da parte
•
Il centro del cerchio dei 9 punti è un centro di sim-
l’abusato pregiudizio di considerare la geometria
metria per la quartica di Steiner.
euclidea come un argomento chiuso, incapace di pro-
•
X è allineato con l’incentro e con il punto di Nagel.
durre nuove scoperte. I punti descritti in questo lavoro,
•
Y è allineato con il punto di Nagel e con il punto di
oltre ad altri punti classici e moderni, sono anche
Gergonne.
descritti sul mio sito personale all’indirizzo
Bibliografia
http://spazioweb.inwind.it/marioluciani dove è possibile
[1] G. Loria, Curve piane speciali, vol 1, Hoepli, Milano 1930
visualizzare in modo interattivo le figure realizzate
[2] H. Eves, College Geometry, Jones and Barlett Publishers
tramite CabriJava..
International, London 1995
[3] R. Lachlan, An Elementary Treatise on Modern Pure
Ultim’ora
Geometry, MacMillan, London 1893
[4] H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited,
Alcuni fatti si possono osservare con Cabri facilmente,
Singer, 1967
con uno strumento come la TI-92 Plus partendo da
Analisi grafica di una
domande poste dal docente o, come spesso accade, dagli
allievi stessi.
distribuzione:
Si potrebbe iniziare considerando i dati della tabella
un approccio grafico
(Fonte: M.I.U.R., Il chi è della scuola italiana “Gli
Studenti”, dicembre 2001).
con la TI-92 PLUS
Ancor prima di procedere con elaborazioni di tipo
Spunto per l’introduzione di
numerico, è bene indurre gli allievi ad “osservare” i dati
argomenti di statistica di base
e porre delle domande del tipo: qual è il numero medio
degli allievi per regione? Il fenomeno si distribuisce uni-
di Roberto Ricci
formemente tra le diverse regioni, oppure si concentra in
ITCS “G. Salvemini” Casalecchio di Reno (BO)
alcune aree del paese? Che differenza c’è tra variabilità
e concentrazione di un fenomeno?
La determinazione dei più semplici valori di sintesi della
L ’introduzione di argomenti di statistica di base nei
programmi di scuola secondaria richiede partico-
distribuzione riportata in tabella 1, quali la media arit-
lare attenzione poiché è importante favorire un atteggia-
metica e lo scarto quadratico medio, non presenta parti-
mento critico degli allievi, affinché essi concentrino la
colari difficoltà e la TI-92, come tanti altri strumenti,
loro attenzione sugli aspetti interpretativi e non solo su
fornisce questi ed altri valori in modo molto rapido.
quelli tecnico-calcolatorii. In questo senso le nuove tec-
Le figure 1 e 1bis propongono diversi spunti di rifles-
nologie possono rappresentare un valido strumento per
sione e di discussione per giungere ad una analisi della
proporre in modo “laboratoriale” l’argomento in esame,
distribuzione.
ovvero una prima analisi di una distribuzione di dati.
I risultati rappresentati dalle suddette figure consentono
La navigazione “in rete” consente di reperire facilmente
facilmente di fornire una risposta ad alcuni dei quesiti
dati recenti e “originali” e che possono essere analizzati
posti, ma possono essere lo spunto per un’analisi grafica
N.
Regione
Studenti a.s.2001/02
N.
Regione
Studenti a.s.2001/02
(in migliaia)
(in migliaia)
1 Piemonte
545
11
Marche
210
2
Valle d’Aosta
14
12
Lazio
823
3
Lombardia
1249
13
Abruzzo
201
4
Trentino A.A.
141
14
Molise
53
5
Veneto
633
15
Campania
1152
6
Friuli V.G.
145
16
Puglia
744
7
Liguria
188
17
Basilicata
108
8
Emilia R.
490
18
Calabria
382
9
Toscana
448
19
Sicilia
956
10
Umbria
115
20
Sardegna
269
Tabella 1
6
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Fig. 1
Fig. 1 bis
non altrettanto facilmente proponibile con strumenti
circa la sua simmetria rispetto alla mediana. Le figure 1
diversi dalle calcolatrici grafico-simboliche.
e 1bis forniscono anche alcune medie di posizione come
In particolare si vuole ora affrontare lo studio della con-
la mediana e i quartili (MedStat, q1 e q3). La collo-
centrazione per via grafica ed “elementare”, cioè senza
cazione di questi valori su un segmento che rappresenti
far ricorso al metodo di analisi di Lorenz, probabilmente
il campo di variazione della distribuzione, permette di
non proponibile nella sua interezza in una classe di bien-
nio della scuola secondaria o della scuola media.
Una semplice osservazione dei dati della tabella 1 con-
sente di vedere come ci siano alcune regioni nelle quali
il fenomeno si presenta maggiormente concentrato
rispetto ad altre. Il punto di forza dell’analisi è quello di
riflettere da un lato su come dovrebbe essere la dis-
tribuzione se non vi fosse concentrazione e dall’altro su
come essa si presenta realmente. Il confronto del grafico
delle due situazioni può permettere agli allievi di
esprimere una prima valutazione del problema, oper-
azione di notevole valore didattico nella trasmissione di
Fig. 2
un aspetto importante del metodo scientifico-sperimen-
tale, ovvero il confronto tra un modello teorico e la sua
realizzazione empirica.
osservare se essa abbia un andamento simmetrico o
Nel caso di equidistribuzione se si cumulasse, in un
meno. Una distribuzione simmetrica avrebbe la mediana
modo qualsiasi, la percentuale rispetto al totale degli
posizionata esattamente sul punto medio del segmento-
studenti delle diverse regioni e si rappresentasse su un
campo di variazione e il primo e terzo quartile sarebbero
grafico cartesiano tale risultato in funzione del numero
i punti medi dei due segmenti individuati dalla mediana.
percentuale cumulato delle regioni, si otterrebbe “la
Il grafico ottenuto nella figura 4, noto in letteratura
bisettrice” del primo quadrante. La calcolatrice grafico-
come Box Plot, dà ragione di una distribuzione non sim-
simbolica consente in modo abbastanza semplice di
metrica. Infatti la “scatola”, comprendente i valori fra il
effettuare il confronto tra il caso suddetto e il grafico
primo ed il terzo quartile, non è collocata ad uguale dis-
ottenuto cumulando i dati della tab. 1 ordinati in senso
tanza dagli estremi del segmento, inoltre la mediana
crescente. La fig. 2 mostra la rappresentazione grafica
(rappresentata dal segmento verticale interno alla scato-
delle due ipotesi e permette facilmente agli allievi di
la) non è a sua volta nel punto medio della scatola stessa.
valutare, quanto meno sotto il profilo descrittivo, il
La rappresentazione di un grafico come quello della
problema della concentrazione, intimamente legato al
figura 4 risulterebbe molto laboriosa senza l’ausilio
concetto di variabilità, ma che coglie un aspetto diverso
delle tecnologie, mentre il vantaggio didattico che si
di notevole valore interpretativo.
ottiene nella presentazione delle medie di posizioni sem-
Un’altra analisi possibile potrebbe riguardare la rappre-
bra del tutto evidente. Può risultare molto interessante
sentazione grafica della distribuzione degli studenti
fare costruire agli allievi una distribuzione in modo che
nelle diverse regioni in funzione di classi, la cui ampiez-
il Box Plot ottenuto dia ragione di una distribuzione
za può essere decisa autonomamente dai ragazzi, per
simmetrica, oppure chiedere loro come si aspetterebbero
poter poi studiare come tale scelta influenzi il valore
questo grafico nel caso in cui non vi fosse concen-
informativo del grafico ottenuto.
trazione, come invece emerge in figura 2.
Le figure 3 e 3bis rappresentano due istogrammi possi-
Come si è potuto vedere le analisi che si possono con-
bili dove le larghezze delle colonne sono rispettivamente
durre su una semplice distribuzione reale sono moltepli-
150 e 250 (migliaia di studenti).
ci e didatticamente molto interessanti.
La calcolatrice grafico-simbolica, a differenza dei più
E’ particolarmente importante utilizzare le tecnologie in
diffusi fogli elettronici, mette inoltre a disposizione un
modo tale che gli allievi abbiano uno strumento che
utile strumento grafico per analizzare la distribuzione
consenta loro
7
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Fig. 3
Fig. 4
interrogativi circa la simmetria della distribuzione.
Certamente sono poi necessari momenti di precisazione
e di formalizzazione, infatti l’uso delle tecnologie non
va inteso come sostitutivo dell’azione didattica più
tradizionalmente intesa, ma ne deve essere parte, più o
meno importante a seconda dei momenti e degli argo-
menti. Sembra essere inoltre interessante come la calco-
latrice grafico-simbolica abbia consentito un uso real-
mente integrato della tecnologia, nel senso che ha per-
messo di evitare un’artificiosa frattura tra attività
“tradizionale” e quella svolta con delle strumentazioni.
Fig. 3 bis
Ciò è molto importante, poiché una tale differenzi-
azione riduce di fatto l’efficacia di qualsiasi azione
volta alla trasmissione del metodo e del sapere scientifi-
di effettuare delle congetture, metterle alla prova, scar-
co alle nuove generazioni.
tarne alcune ed aggiungerne di nuove. In questo modo
gli allievi sono guidati gradualmente ad accostarsi alla
statistica di base, colta nel suo significato di strumento
Bibliografia
d’interpretazione della realtà fenomenica che circonda
A.M. Arpinati, D. Tasso, Le nuove tecnologie a scuola o
ogni individuo. Da questo punto di vista la presenza sul
la scuola delle nuove tecnologie?, CABRIRRSAE, n.
banco di una calcolatrice grafico-simbolica si è rivelata
29, 2001
estremamente utile, poiché ha reso possibile un approc-
M.A. Mariotti, L’influenza delle nuove tecnologie nella
cio didattico realmente sperimentale alla disciplina. La
formazione matematica, Atti del convegno nazionale
presentazione degli argomenti proposti è emersa da una
“Matematica, Formazione scientifica e nuove tecnolo-
sorta di dibattito e di provocazioni lanciate dal docente,
gie”, Montevarchi, 2001
ma qualche volta anche da alcuni allievi e, cosa didatti-
C. Rossi, Utilizzo della “rete” per un approccio fusion-
camente significativa, lo strumento stesso è stato fonte
ista all’insegnamento della probabilità, della statisti-
di ulteriori momenti di indagine. Nel senso che alcuni
ca…e altro ancora, Atti del convegno nazionale
risultati, ad esempio gli istogrammi delle figure 3 e 3bis,
“Matematica, Formazione scientifica e nuove tecnolo-
hanno suggerito a studenti particolarmente sensibili
gie”, Montevarchi, 2001
Il piano inclinato:
A
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
esperimento di Galilei
OP
Distanza OP = 0,00 cm
di Renato Verdiani
Liceo Scientifico “Il Pontormo” Empoli - FI
rosso
C ommenterò la simulazione realizzata con CABRI
con una serie di disegni che sono le fotocopie
delle figure che si formano sulla lavagna elettronica.
B
C
Invierò il file GALILEI.FIG per posta elettronica a
T
chiunque ne faccia richiesta al seguente indirizzo:
asse dei tempi
0,00 cm
rever@dedalo.com
La prima immagine che si forma dopo aver caricato il
8
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
file Galilei.fig mostra la struttura del modello:
• una sfera (verde) posta nella parte superiore di un
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
triangolo rettangolo che simula il piano inclinato;
• un piccolo vettore, la cui origine P potrà essere spo-
A
stata lungo un segmento (rosso), che permette di
Distanza OP = 0,91 cm
O
“misurare” lo spazio percorso dalla sfera (distanza di
P
P dal punto fisso O);
• un punto T sopra un vettore orizzontale che simula
l’asse dei tempi.
Occorre osservare che Cabri misurerà i tempi in centi-
metri. Occorre spiegare quindi che è possibile stabilire
una proporzionalità diretta tra la distanza di T dall’origi-
B
C
ne del vettore e il tempo. In altre parole, possiamo asso-
ciare alla distanza di un centimetro il tempo di un secon-
T
do e, quindi, ad una distanza doppia (2 cm) un tempo
asse dei tempi
doppio (2 s) e così via. (Ricordiamo a questo punto che
2,01 cm
Cabri usa punti “discreti” e quindi, si accetterà il valore
del tempo di 1 s anche con una distanza di 0,99 cm
oppure 1,01 cm).
Applicando la molla virtuale di Cabri al punto T potre-
mo “osservare” il moto della sfera lungo il piano incli-
nato.
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
Il moto sarà “reale” in quanto nel software che gestisce
la simulazione è già implementato il comportamento
A
Distanza OP = 2,07 cm
reale del moto della sfera. Comportamento che, ovvia-
O
mente, lo studente dovrà scoprire, come fece Galilei.
P
Successivamente si deve procedere in questo modo:
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
A
Distanza OP = 0,23 cm
B
C
OP
T
asse dei tempi
3,01 cm
B
C
T
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
asse dei tempi
0,99 cm
A
Distanza OP = 3,63 cm
O
• si sposta il punto T finché la lunghezza del segmento
P
non è 1,00 cm (nella figura 0,99 cm);
• si sposta il punto P fino a far coincidere la punta del
vettore con il punto d’appoggio della sfera;
• si legge e si memorizza in una tabella il valore della
distanza OP (0,23 cm nella figura).
B
C
Si ripetono le operazioni precedenti spostando T fino a
2,00 cm – 3,00 cm – 4,00 cm – 5,00 cm – 6,00 cm (o
T
asse dei tempi
valori prossimi a questi).
4,00 cm
Le figure seguenti mostrano le situazioni nelle fasi suc-
cessive.
9
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Quest’ultima figura mostra la simulazione dell’effetto
stroboscopio che si può ottenere sovrapponendo le
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
immagini precedenti.
A questo punto basta costruire una tabella con i valori
A
Distanza OP = 5,60 cm
dei tempi (posizioni assunte dal punto T) e con i corri-
O
spondenti valori delle posizioni della sfera (posizioni
del punto P) per riottenere i risultati di Galilei e cioè il
2
legame s = k · t .
P
E’ superfluo ricordare che le approssimazioni sui valori
numerici operate dal software CABRI renderanno la
simulazione ancora più simile all’esperimento reale,
dato che non sarà mai possibile verificare sperimental-
B
C
mente che gli spazi percorsi dalla sfera sono esatta-
mente proporzionali al quadrato dei tempi.
T
asse dei tempi
5,00 cm
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
A
1 2
O
3
PP P
4
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
P
P
5
P
6
A
Distanza OP = 8,22 cm
P
O
7
P
B
C
P
T
T
T
T
T
T
T
T
asse dei tempi
0
1
2
3
4
5
6
7
B
C
T
asse dei tempi
6,01 cm
La Sezione Aurea
di Stefania Ferrari
ITIS “Fermi” Mantova
Piano inclinato (il “rallentatore della gravità” di Galilei)
I n genere concludo il modulo sulla geometria
euclidea, nella classe seconda ITIS, con lo studio
A
della sezione aurea, perché essa si presta a vari appro-
Distanza OP = 11,22 cm
fondimenti.
O
In questo articolo presento la scheda di laboratorio che
viene sviluppata in modo autonomo dagli studenti con
scarsi interventi dell’insegnante.
Dopo avere letto la definizione geometrica di sezione
aurea, lo studente deve costruire la sezione aurea di un
P
segmento mediante il metodo di Erone e completare la
B
C
dimostrazione guidata. In seguito, usando la figura
precedente, deve costruire il decagono regolare e da
T
questo isolare un triangolo di 72°-72°-36° e completare
asse dei tempi
la dimostrazione del fatto che la base di questo triango-
7,01 cm
lo isoscele (lato del decagono) è la sezione aurea del
suo lato obliquo.
10
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Infine viene studiata la sezione aurea nell’algebra me-
• interseca questa circonferenza col segmento AB; chia-
diante il calcolo del rapporto aureo.
ma H tale punto il segmento AH è la sezione aurea del
Seguono una serie di esercizi, da affrontare in modo
segmento AB.
autonomo, relativi alla costruzione del pentagono stella-
Stampa e salva la costruzione con il nome sezaurea.fig
to, del rettangolo aureo e del triangolo 36°-36°-108°.
L’ultimo esercizio riguarda la relazione esistente fra
sezione aurea e numeri di Fibonacci, con un cenno al
C
concetto di limite.
Alcuni studenti sono rimasti affascinati dalle proprietà
E
della sezione aurea, al punto da ricercare in Internet siti
in cui l’argomento veniva sviluppato: la loro attenzione
M
si è spesso rivolta a strutture architettoniche, alcune pre-
P
senti anche nella città di Mantova.
A
H
B
Segue la scheda di laboratorio e le relative figure trac-
ciate dagli studenti.
SCHEDA
1. INTRODUZIONE
Considera la seguente:
DEFINIZIONE: La sezione aurea di un segmento AB
è quella parte di segmento AC che è medio pro-
porzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente
DIMOSTRAZIONE
CB, cioè
Dimostriamo che AH è la sezione aurea di AB (comple-
AB : AC = AC : CB
ta le parti mancanti):
A
C
B
Hp:
AB CB, AB CB, CM MB
La sezione aurea era nota agli Egizi e ai Greci (Euclide
Th:
AB : AH = AH : HB
libro II degli Elementi), che la usarono nella costruzione
delle loro più importanti opere architettoniche. Nella
Per costruzione AB è tangente alla circonferenza di cen-
piramide di Giza la metà del lato di base è la sezione
tro M, mentre AE è secante, quindi per il teorema della
aurea dell’altezza di una faccia.
tangente e della secante,
La denominazione “sezione aurea” è stata introdotta per
AE: .....=...... :AP
la prima volta in Germania nel 1835 e si rifà al carattere
per la proprietà dello scomporre delle proporzioni
estetico che le veniva attribuito nella scuola pitagorica e
(AE-AB):AB=(AB-AP):AP
che poi fu ripreso nel Rinascimento
Per costruzione si ha che
AB CB PE
2. COSTRUZIONE DELLA SEZIONE
e quindi AE - AB ...... - ...... ........
AUREA DI UN SEGMENTO CON CABRI
poiché AP AH
AB-AP .......-...... ..........
Realizza ora la costruzione della sezione area di un seg-
sostituendo nella proporzione
mento AB con Cabri, questa costruzione è dovuta a
......... : .........=......... : .........
Erone e sfrutta il teorema della tangente e della secante.
essendo AP
AH
......... : .........=......... : ......... e
• disegna un segmento;
invertendo medi ed estremi segue la tesi AB:AH=AH:HB
• chiama gli estremi A e B e coloralo di rosso;
CVD.
• traccia la retta perpendicolare ad AB passante per B;
• disegna la circonferenza di centro B e raggio AB;
3. COSTRUZIONE DEL
• interseca la circonferenza con la retta tracciata al punto 3;
DECAGONO REGOLARE
• chiama C uno dei punti di intersezione;
Si può dimostrare che il lato di un decagono regolare
• trova il punto medio di BC e chiamalo M;
(poligono regolare di 10 lati) inscritto in una circon-
• disegna la circonferenza di centro M e raggio BM;
ferenza è la sezione aurea del raggio.
• traccia la retta AM;
Realizza con Cabri la seguente costruzione a partire da
• interseca la retta AM con la circonferenza del punto 8,
quella costruita nel punto 2.
dei due punti di intersezione così ottenuti chiama P il
• nascondi (non cancellare!) tutte le circonferenze e le
più vicino ad A ed E quello più lontano;
rette AE e CB, mantieni solo il segmento AB (prova a
• traccia la circonferenza di centro A e raggio PA;
deformarlo e vedrai che la posizione di H viene
11
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
aggiornata);
• disegna la circonferenza di centro B e raggio AB (è la
A
B
circonferenza circoscritta al decagono), colorala di
72.0°
36.0°
verde;
36.0°
• disegna la circonferenza di centro A e raggio AH,
segna un punto di intersezione con la circonferenza
F
verde con la lettera D (questo è un vertice del decagono);
• disegna la circonferenza di centro D e raggio AH e
72.0°
segna l’ulteriore punto di intersezione con la circon-
ferenza verde (questo è un altro vertice del decagono);
72.0°
• ripeti la stessa operazione fino a quando hai costruito
D
tutti i vertici;
L’angolo in B è la decima parte dell’angolo giro, quindi
• congiungi i vertici e colora i segmenti di rosso: hai
è di 36°.
ottenuto il decagono regolare;
Poiché il triangolo ABD è isoscele, gli angoli alla base
• sposta il punto A e verifica che la figura si deformi in
sono congruenti, quindi:
modo corretto.
BAD
ADB = 180° - .......°/2 = .............°
Stampa e salva con il nome decagono.fig
(segna e misura gli angoli nel disegno).
La bisettrice AF divide l’angolo in A in due parti uguali,
quindi BAF FAD=.........°
Nel triangolo AFD gli angoli misurano ADF=.........°,
FAD=...........° quindi AFD =.........°
anche il triangolo AFD è quindi isoscele sulla base FD,
di conseguenza AF ...........
Per la transitività della congruenza AF AD BF
quindi FD BD-BF ........-...........
si deve allora dimostrare che AB:AD=AD:FD
B
I triangoli isosceli ABD e AFD hanno gli angoli con-
A
H
gruenti e quindi sono simili. Possono essere riferiti in
questo modo
ABD

.........
è quindi soddisfatta la proporzione
AB:DA=........ : ......... che è la tesi.
CVD.
Se tracci la bisettrice dell’angolo AFD, questa incontra
il lato AD nel punto G, si può dimostrare che FD è la
sezione aurea di AD, e così via ....
4. COSTRUZIONE DEL
La sezione aurea ha la proprietà di autoriprodursi.
TRIANGOLO 72-72-36
Per dimostrare che il lato del decagono è la sezione
5. LA SEZIONE AUREA NELL’ALGEBRA
aurea del raggio, dobbiamo isolare una parte di
Studiamo il problema dal punto di vista algebrico.
decagono:
• congiungi il vertice D con il centro B;
A
C
B
• nascondi (non cancellare!) tutto tranne il triangolo
Indichiamo con AB = a, AC = x, CB = a - x
ABD (ingrandisci la figura);
allora:
• disegna la bisettrice dell’angolo interno A e indica
AB : AC = AC : CB
con F il suo punto di intersezione con il lato DB;
a : x = x : (a-x)
• disegna e colora di verde il segmento AF.
per la proprietà fondamentale delle proporzioni
2
Stampa e salva la costruzione con il nome triaureo.fig
x = a(a-x)
Dal punto di vista geometrico significa che l’area del
DIMOSTRAZIONE
quadrato, avente per lato la sezione aurea AC, è uguale
Dimostriamo che AD (base del triangolo isoscele) è la
all’area del rettangolo avente per dimensioni
sezione aurea di AB (lato obliquo del triangolo); (com-
........................ e la ......................................
pleta le parti mancanti):
Dal punto di vista algebrico, sviluppando i calcoli, si
ottiene l’equazione di 2° grado
2
2
Hp: AB DB, l’angolo ABD=360°/10
x + ax - a = 0 con a > 0
2
2
2
Th: AB:AD=AD: (AB-AD)
risolvendo si ha
= a + 4a = 5a > 0
12
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
a
5a3
a
a 5
1
5
x
..........
1 =
x = − ±
= − ±
= − ±
a
⇒
2
2
2
x
..........
2 =
La soluzione negativa non è accettabile, perché la
soluzione deve rappresentare una lunghezza, mentre è
accettabile la soluzione positiva:
 5 1
x =
−
a 2 
che è un numero irrazionale che possiamo approssi-
mare con 0,618034.
Osservazioni:
A
Il rapporto tra un segmento e la sua parte aurea vale
a = 2 ≈1,618034......
x
5 − 1
e viene detto rapporto aureo.
Poiché AB/AC = AC/CB, allora AC/CB è un rapporto
aureo, quindi CB è la parte aurea di AC.
ABCD è aureo e AB è diviso dal punto E esattamente
6. ESERCIZI
nella sezione aurea.
Quindi il lato AD è la sezione aurea di DC. Esegui la
Es 1: Il simbolo dei pitagorici
verifica misurando DC e AD e calcolando il loro rap-
Apri il file con il decagono regolare. Cancella i lati del
porto AD/DC
1,62.
decagono e congiungi i vertici saltandone sempre uno:
si ottiene il pentagono regolare. Traccia le diagonali del
pentagono e colorale di verde: si ottiengono una stella
(un pentagono stellato detto “pentagramma”) e un pen-
tagono interno più piccolo. Considera le due diagonali
uscenti dallo stesso vertice, queste individuano con il
lato del pentagono un triangolo isoscele i cui angoli
interni misurano 36°-72°-72°. Quindi il lato del pen-
tagono regolare è la sezione aurea della diagonale.
A
E
Verificalo misurando lato e diagonale e calcolando il
B
A’
rapporto diagonale/lato = ................
Traccia ora le diagonali del pentagono più piccolo: si
ottengono un’altra stella e un altro pentagono più piccolo.
Questo procedimento può essere ripetuto all’infinito,
dando luogo a pentagoni sempre più piccoli: questo rap-
presenta un’ulteriore conferma del fatto che il rapporto
D
F
C
fra la diagonale e il lato di un pentagono regolare è un
numero irrazionale.
E’ un’altra conseguenza della proprietà della sezione
aurea di autoriprodursi.
ESs 3: Il triangolo 36 - 36 - 108
Questo disegno era il simbolo della Scuola Pitagorica
Disegna il triangolo isoscele di angoli 36-36-108, indica
con AC e con B l’altro vertice.
Es 2: Il rettangolo aureo
Traccia la circonferenza di centro A e raggio AB, questa
Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni cor-
incontra AC nel punto D. Traccia il segmento BD.
rispondono alla sezione aurea. Per costruire il rettango-
Misura gli angoli interni dei triangoli ABD e BDC.
lo aureo, disegna con Cabri un quadrato di lato a i cui
Ci sono triangoli simili ?
vertici chiamerai, a partire dal vertice in alto a sinistra e
Sei in grado di individuare una sezione aurea scrivendo
procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividi AE in
una proporzione? (figura nella pagina sucessiva)
due parti uguali e chiama con A’ questo punto medio.
Disegna la circonferenza di centro A’ e raggio AF, que-
Es 4: La sezione aurea e
sta interseca il prolungamento di AE (dalla parte di E)
i numeri di Fibonacci
nel punto B. disegna il segmento BC perpendicolare ad
Esiste una relazione fra i numeri di Fibonacci e la
AB e congruente al lato del quadrato. Il rettangolo
sezione aurea.
13
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Come sai la sequenza di Fibonacci (che risale al 1202) è
una successione di numeri che inizia con i valori 1, 1 e
ogni termine successivo si ottiene sommando i due
B
immediatamente precedenti. In simboli, se indichiamo
con fi il numero di posto i si ha:
f1 = 1 f2 = 1 fi = fi-2 + fi-1
con i = 3,4,5,6,7,.....
108,4°
Completa la seguente tabella con i numeri di Fibonacci
C
e il calcolo del rapporto fra un termine e il suo successi-
A 35,8°
D
35,8°
vo.
Numeri di
Rapporti
Fibonacci
f1 = 1
f1/f2 = 1/1 = 1
f2 = 1
f2/f3 = 1/2 = 0,500
f3 = 2
f3/f4 = 2/3 = 0,667
f4 = 3
..................
Si osserva che il rapporto fra un numero e suo successi-
vo si avvicina molto rapidamente al valore 0,618 che è
f5 = .....
..................
un’approssimazione del rapporto aureo.
f6 = .....
..................
f7 = .....
..................
In simboli si può scrivere:
f8 = .....
..................
f9 = .....
..................
fn ≈
f
lim
0,618
10 = .....
..................
n→+∞ fn+1
f11 = .....
..................
fico di
x
Le intersezioni tra
y=a .
esponenziali e logaritmi
Operando una simmetria rispetto alla bisettrice
con la stessa base(>1)
y=x
otteniamo poi il grafico della funzione inversa:
di Cristiano Dané
y=logax.
Liceo classico europeo “Umberto I” - Torino
Muoviamo ora il punto a, in questo modo possiamo
indagare con continuità che cosa accade alle due fami-
glie di funzioni.
Ecco i grafici:
L a prima parte dell’attività che qui propongo ha
come finalità lo studio dei grafici dell’esponenzia-
le e del logaritmo al variare della loro base.
Se a
0 non si forma alcun grafico:
Cabri è un ottimo strumento, almeno per un’indagine
qualitativa, perché consente di far variare con apparente
continuità il parametro, permettendo di capire facilmen-
y
te l’andamento delle due funzioni.
Analizzando la figura dinamica, nasce però un nuovo
problema, la cui soluzione non mi pare banale: per quali
valori di a>1 l’equazione
x
a = logax
ha soluzioni e quante ne ha?
1
I grafici di
x
y=a e y=logax
x = -1,42
1
Fare la figura è abbastanza semplice: si fissa un punto
sull’asse x e un punto a su di una retta ad esso parallela;
tramite la calcolatrice si calcola ax e si trasporta il risul-
a = -2,00
1
tato sull’asse y.
Le rette parallele agli assi passanti per questo punto e
per x determinano il punto il cui luogo costituisce il gra-
14
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Se 0 < a < 1:
Il ruolo giocato dalla base dell’esponenziale e del loga-
ritmo è così chiarito e si possono desumere abbastanza
facilmente le proprietà dei grafici tracciati (dominio,
y
insieme immagine, monotonia, intersezioni con gli
assi,…). Muovendo il punto che individua il parametro
a, accade però qualcosa che a prima vista non ci si
aspetterebbe e che ora descriviamo.
Il nuovo problema:
1
Con un approccio statico allo studio delle due funzioni
si potrebbe essere tentati di dire che se a 1, i grafici
x
x = -1,42
1
di y = a e y = logax si intersecano in un punto, ma se
a > 1, non si hanno intersezioni. La motivazione tipica è
che l’esponenziale cresce molto più rapidamente del
logaritmo e quindi le due funzioni non si intersecano.
a = 0,37
Il ragionamento precedente, basato sugli ordini di infi-
nito, trascura il fatto che questo comportamento si veri-
fica in un intorno di infinto. L’esplorazione dinamica fa
subito crollare quanto ipotizzato.
Se a = 1 (caso limite da discutere in classe):
1. Ci sono valori di a > 1 in cui abbiamo due intersezioni
y
y
1
1
x = -1,42
1
x
x = -1,42
1
a = 1,00
1 a = 1,39
2. Fino ad un valore limite, che chiamiamo a*, in cui le
Se a > 1:
due intersezioni coincidono:
y
y
1
1
x = -1,42
1
x = -1,42
1
x
1
a = 2,00
1 a = 1,44
15
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Possiamo notare che a* è circa 1.44.
punto di massimo:
Superato a* non si hanno più intersezioni.
A questo punto l’esplorazione finisce, Cabri ha esaurito
il suo compito, ma occorre tentare di determinare a*.
La soluzione
Pur non essendo semplice, il problema è risolvibile in
modo esatto, utilizzando qualche nozione di calcolo dif-
ferenziale: vediamo come.
Innanzitutto, le figure precedenti ci permettono di osser-
vare senza difficoltà che le intersezioni dei grafici appar-
tengono anche alla bisettrice y=x, e questo è ovvio
essendo le curve simmetriche rispetto a tale retta ed
essendoci limitati al caso in cui è a > 1, nel quale
entrambe le funzioni sono crescenti.
Si tratta quindi di vedere per quali a (1, + ∞)l’equazio-
Chiaramente il risultato x = 0 è del tutto incoerente, ma
ne x = log
abbiamo scoperto che il massimo è in x = e. Possiamo
ax ha soluzione e quante soluzioni ha.
Utilizzando la formula del cambiamento di base, portia-
averne un’ulteriore conferma determinandolo nell’am-
mo tutto in base e:
biente di grafica della calcolatrice.
x = ln x/ln a cioè: (lna)x = lnx
Rifacendo i passaggi a ritroso, ricaviamo che
-1
In questo modo ci siamo ricondotti a studiare il numero
m = lne/e = e
*
di intersezioni tra un insieme di rette per l’origine e il
e quindi lna = e-1
*
1/e
logaritmo naturale.
e finalmente a = e .
Se poniamo m = ln a, abbiamo: mx = ln x, cioè
m = (lnx)/x
In effetti questo valore approssimato con la calcolatrice
Ora questo equivale a trovare il numero di intersezioni
è 1.44467, ed è abbastanza rispondente a quanto trovato
tra la famiglia di rette y = m, parallele all’asse x, e la
in precedenza con Cabri.
funzione y = (lnx)/x
Ritornando al problema possiamo concludere che
x
Non ci resta che tracciare il grafico di questa funzione
a = logax ha:
ed indagarne l’insieme immagine.
• una soluzione se a
1;
*
e-1
In una classe quinta liceo è abbastanza agevole farlo con
• due soluzioni semplici se 1 < a <a = e ;
*
e-1
carta e penna e concludere determinando il punto di
• una soluzione doppia se a = a = e ;
*
e-1
massimo, ma visto che questa attività è rivolta ad una
• nessuna soluzione se a > a = e .
classe quarta, in cui non sono state ancora introdotte le
Ecco la conferma grafica nel caso dell’intersezione dop-
nozioni di calcolo necessarie, possiamo utilizzare una
pia:
calcolatrice TI92 per superare tutti gli ostacoli tecnici e
concentrarci sul procedimento. Ecco il grafico di y = (lnx)/x:
Ma c’è un’ultima “sorpresa”: il punto di intersezione tra
le due curve è (e, e)!
Osserviamo facilmente che ha uno zero in x = 1 e che ha
un punto di massimo che corrisponde al caso in cui l’e-
sponenziale e il logaritmo sono tangenti.
Possiamo utilizzare la funzione fMax per determinare il
16
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
16
contare!). In altre parole 2 dista da 1 quanto la somma
Breve storia dei
5
11
delle distanze di 2 e 2 dall’unità. Questa distanza (dal-
Logaritmi
l’unità) è ciò che noi chiamiamo logaritmo.
di Enrico Pontorno
Un sito dove trovare notizie su *Archimede, il maggiore
I. S. I. S. S., Motta di Livenza (TV) – sez. Liceo
genio scientifico dell’antichità, è
Classico, Oderzo (TV)–
http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/
Collaboratore esterno dell’IRRE Emilia-Romagna
contents.html
2
5
11
16
L’insieme ordinato 1,2,2 ,...2 ,...2 ,...2 ,... è un esempio
di ciò che i matematici chiamano successione. Quando
Premessa
la legge di costruzione dell’insieme è tale che, dato un
elemento iniziale, ogni altro elemento viene ottenuto
C he la matematica non goda delle simpatie del
grande pubblico è cosa nota. Con una buona dose
moltiplicando il precedente per un numero costante -
di masochismo possiamo chiederci quali “personaggi” –
detto «ragione» - la successione viene detta geometrica
nel senso di capitoli, argomenti,… - della matematica
(si parla anche di progressione geometrica). Per quanto
risultano più ostici. Una breve inchiesta, fatta in occa-
detto nell’esempio, il logaritmo è ciò che noi moderna-
sione di conversazioni tra amici di formazione fortemen-
mente chiamiamo “esponente” in un elevamento a
te matematica (ingegneri, fisici, matematici) e di collo-
potenza. Anche l’insieme 0,1,2,...5,...11,...16,... è una
qui dell’esame di stato, ci ha fatto concludere che la
successione. La genesi dei suoi termini è simile alla pre-
palma di «antipatico per eccellenza» spetta ai logaritmi.
cedente, ma l’operazione di moltiplicazione per una
La voce deve essersi rapidamente diffusa, tant’è che
costante viene sostituita dall’operazione di addizione.
autorevoli personaggi, tra gli addetti ai lavori, vogliono
Una tale successione viene detta aritmetica.
“rottamare” i logaritmi insieme all’altra matematica
Nel 1614 lo scozzese John Napier pubblica l’opera
(scolastica) che non si dovrà più studiare.
Mirifici logarithmorum canonis descriptio, col dichia-
Spinti da morbosa curiosità, abbiamo voluto rotolarci
rato intento di sollevare gli astronomi dalla fatica di
nel fango di una ricerca storica sull’origine dei logarit-
effettuare i penosissimi calcoli necessari al loro lavoro.
mi, che, come risulta da una indagine parallela a quella
Come tutte le persone colte del suo tempo scrive in lati-
di cui sopra, lo studente medio attribuisce a Euclide! E
no e conosce il greco. Conia il termine logos-arithmos
così abbiamo scoperto un pezzo di storia della matema-
(numero della ragione) per indicare, in una progressione
tica che si intreccia, strettamente, con interessi commer-
geometrica, il posto occupato da un termine, cioè l’e-
ciali, scoperte geografiche, viaggi avventurosi, pirati… e
sponente di quel termine, avendo assegnato al termine
con un certo modo “moderno” di intendere l’istruzione.
iniziale della successione il posto “zero”. Il vantaggio
Insomma la storia dei logaritmi è tutt’uno con un pezzo
nell’uso dei logaritmi sta nel fatto che essi trasformano
di storia dell’umanità!
moltiplicazioni e divisioni in addizioni e sottrazioni,
consentendo risparmio di tempo e fatica a chi deve, pro-
Chi ha “inventato” i logaritmi?
verbialmente, fare calcoli onerosi come quelli astrono-
Liberiamoci subito da un equivoco (misconcetto, per i
mici. Napier assume anche che i termini di una progres-
didatti di vaglia): i logaritmi non li hanno inventati i
sione aritmetica siano i logaritmi dei termini di una cor-
Greci! Anche se… l’ottimo Archimede, nell’Arenario,
rispondente progressione geometrica.
utilizza regole di calcolo che, con simboli attuali, noi
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/
scriveremmo:
m
n
m+n
HistTopics/Napier.html
10 10 = 10
Esempio. Sensibilità delle pellicole fotografiche.
Più precisamente “Trattandosi di determinare l’ordine
ASA/ISO 25 50
64 100 200 400 800 1600
decimale di grandezza d’un numero grandissimo, si nota
DIN
15 18
19
21
24
27
30
33
che, data una progressione geometrica avente per primo
Fino a qualche tempo fa la sensibilità delle pellicole era
termine l’unità e per ragione un numero naturale, il pro-
classificata secondo due scale i cui termini erano in pro-
dotto di due termini appartiene alla progressione e dista
gressione aritmetica (DIN, in uso in Europa) e geometri-
dal maggiore dei fattori quanto il minore dista dall’u-
ca (ASA, in uso negli USA). Esistono anche pellicole
nità, ovvero dista dall’unità quanto insieme ne distano i
con valori intermedi (in grassetto). Recentemente le
due fattori”. [1, p. 404]
scale sono state uniformate nello standard ISO, sostan-
Esempio. Si consideri la successione geometrica:
zialmente eguale all’ASA.
0
1
2
5
11
16
Il sito del Saint-Andrews College di Edimburgo (quello,
1 = 2 , 2 , 2 , ....2 ,....2 ,....2 ,....
per intenderci, che da quest’anno vanta tra i suoi iscritti
0,
1, 2, …., 5,…,11, ..,16, …
5
11
16
il principino Williams!)
e consideriamo il prodotto 2 2 = 2 . La “distanza” di
16
11
5
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/
2 da 2 da è uguale alla distanza di 2 da 1 (provate a
HistTopics/History_overview.html
17
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
è certamente il riferimento più importante della rete per
ottennero fu che i docenti del Gresham College ebbero
quanto riguarda la storia della matematica e le biografie
uno stipendio più alto di quelli delle due prestigiose
dei matematici. Grazie al suo motore di ricerca e al
Università!
vastissimo archivio, può soddisfare le curiosità relative a
Il lascito permise di istituire sette cattedre: teologia,
matematici e scienziati di ogni epoca.
diritto, retorica, musica, medicina, geometria e astrono-
Al sito
mia. I professori del Gresham College avevano l’obbligo
http://www.seanet.com/~ksbrown/kmath488.htm
di impartire il loro insegnamento in latino, per essere
si può leggere come l’invenzione dei logaritmi da parte
compresi dagli stranieri, e in inglese, perché “non si
di J. Napier aiutò Keplero a scoprire la sua terza legge
voleva che le lezioni fossero rivolte solo ai cittadini
dei moti planetari.
dotti” [2, p. 62]. Altro elemento di novità metodologico-
Chi vuole leggere il manoscritto originale di Napier,
didattica era il fatto che le istruzioni in merito alle lezio-
completo di disegni e calcoli, guardi il sito
ni da tenere erano impartite dal “Council”, composto da
http://www-math.sci.kun.nl/math/werkgroepen/gmfw/
mercanti londinesi “lungimiranti in grado sorprendente”
bronnen/napier1.
[2, p. 63]. I professori erano liberi dalla consuetudine
del commento ad un testo determinato, che era la prassi
Il successo dei logaritmi. Storia, politi-
dominante nelle Università. Il professore di astronomia,
ca, economia.
ad esempio, doveva dare dimostrazione dell’uso degli
Nel corso del XVI secolo le grandi scoperte geografi-
strumenti nautici, rivolgendosi alla gente di mare, inse-
che, il moltiplicarsi delle rotte di navigazione, il conse-
gnando anche geografia e arte della navigazione. Il pro-
guente sviluppo di tutti gli aspetti della marineria fecero
fessore di geometria doveva impartire lezioni di aritme-
sorgere l’esigenza di una maggiore diffusione di compe-
tica e geometria, sia teorica che pratica.
tenze tecnico-scientifiche tra gli addetti ai lavori.
E ancora le lezioni di diritto dovevano affrontare i casi
L’Inghilterra fu particolarmente sensibile al problema
più ricorrenti nella pratica abituale (testamenti, prestiti,
dell’istruzione degli adulti, ovviamente più per motivi
usura, contratti, gestione delle navi, trattamento della
economici che culturali. Intorno al 1580 si ha notizia di
gente di mare e norme di navigazione). Quelle di medi-
lezioni finanziate da gruppi di cittadini di matematica,
cina dovevano affrontare le teorie più attuali relative alla
geografia e arte della navigazione. Persino Sir Francis
fisiologia, alla patologia e all’arte terapeutica, mentre a
Drake, pirata e poi baronetto, pare abbia contribuito con
Oxford e Cambridge ci si limitava ad un commento ad
20 sterline al progetto! Nel 1588 lo stesso gruppo finan-
Ippocrate e Galeno! Resta infatti documentato che i più
zia lezioni di matematica applicata “alla tattica militare
rinomati medici inglesi dell’epoca venissero a “specia-
e alle fortificazioni”, da impartire ai comandanti della
lizzarsi” a Padova o a Parigi prima di intraprendere la
milizia cittadina. La paura dell’«Invincibile Armada»
professione, ritenendo insoddisfacenti i saperi acquisiti
spagnola, che si apprestava ad invadere l’Inghilterra,
in patria.
fece in modo che le lezioni fossero estese a tutti i citta-
Primo professore di geometria del Gresham College fu
dini. Nell’agosto 1588 l’Armada viene sconfitta dalla
Henry Briggs.
meno poderosa ma più agile flotta inglese nel Canale
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/
della Manica e il pericolo scongiurato, ma non cessa
HistTopics/Briggs.html
l’ansia di istruire i cittadini, stavolta più che altro nel-
Uomo colto e matematico di valore, Briggs fece parte
l’arte e nelle tecniche della navigazione. Tutte queste
della cerchia di intellettuali che si riuniva intorno a
iniziative sfociarono in un progetto unico nel suo gene-
William Gilbert, padre dell’elettricità e del magnetismo
re.
moderni, molto stimato da Galileo. Da questo nucleo di
Nel 1597 viene inaugurato a Londra il “Gresham
personalità nacque quella prestigiosa istituzione che è la
College”. Sir Thomas Gresham (1518-1579), ricchissi-
Royal Society. Per chi volesse approfondire rimandiamo
mo mercante londinese, aveva lasciato un generosissimo
al sito
lascito alla città di Londra con l’obbligo di creare un
http://www.royalsoc.ac.uk/royalsoc/rshist.htm
College molto particolare – amministrato dalla
Spinto da Gilbert, Briggs mise a punto tavole per il cal-
Compagnia dei Mercanti - in cui si insegnassero ai citta-
colo della declinazione e della variazione magnetica,
dini adulti, a titolo totalmente gratuito, matematica e
utili nella navigazione; altri membri del gruppo si occu-
altre scienze che potessero servire alle arti e ai mestieri.
parono di divulgare le conoscenze e di costruire stru-
Erano tempi in cui dare del ‘vil meccanico’ ad un genti-
menti che mettessero a disposizione della gente di mare
luomo significava farsi passare a fil di spada!
le scoperte scientifiche di Gilbert. Centro di divulgazio-
Il progetto nasceva in palese contrasto con il sistema
ne fu, naturalmente, il Gresham College.
ufficiale d’istruzione superiore, a quei tempi appannag-
E i logaritmi? Briggs ne comprese l’enorme importanza
gio delle Università di Oxford e Cambridge, che da
pratica ai fini del calcolo delle rotte nautiche e, dopo
parte loro, inutile dirlo, tentarono di dirottare l’eredità di
avere incontrato Napier ad Edimburgo, li introdusse nel-
Sir Gresham nelle loro auguste casse. Il risultato che
l’insegnamento della matematica al Gresham. Egli stes-
18
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
so contribuì alla divulgazione pubblicando un trattato di
risposte (che non si è discostato da quello che media-
calcolo - definito “insuperato” ancora un secolo dopo -
mente riceviamo) e la varietà delle soluzioni. I ragazzi
e, successivamente, una tavola dei logaritmi. Un amico
della scuola superiore hanno in maggioranza privilegiato
di Briggs intraprese la traduzione, in inglese, dell’opera
la soluzione algebrica e da questa dedotto la costruzione
di Napier, poi completata ed edita dallo stesso Briggs.
richiesta. Alcuni, invece, hanno fornito una costruzione
La divulgazione dei logaritmi fu talmente rapida e diffu-
analizzando le proprietà della figura risultante. Una
sa - nella navigazione, nell’agrimensura, nella contabi-
bella costruzione, purtroppo senza alcuna giustificazione
lità commerciale - che nel 1632 di logaritmi si parlò per-
ci è pervenuta dall’ITI “E. Ferrari” di Torino. In questo
sino sulla scena teatrale! (Ben Jonson, The Magnetic
caso, di solito, la risposta non è considerata valida.
Lady) [2, p. 69].
Abbiamo pensato di presentarla assieme al commento e
Il Gresham College è un’istituzione ancora esistente,
di proporre la sua dimostrazione ai ragazzi che seguono
retto da un Consiglio presieduto dal Sindaco (Lord
questa attività, da inviare entro Settembre. […]
Mayor) di Londra. Tra gli altri attualmente annovera,
Un elogio va ai ragazzi della scuola media inferiore che
come professore di geometria, uno studioso della fama
hanno proposto interessanti soluzioni, tre ricorrendo al
di Roger Penrose. Notizie, storia, argomenti delle
teorema di Talete o alla similitudine e una basata sulla
Lectures, curiosità sul Gresham College, per chi volesse
equivalenza. […]
saperne di più, al sito
• Costruisco un quadrato di lato AB=a e traccio la sua
http://www.gresham.ac.uk/newpage1.htm
diagonale;
• disegno una circonferenza di centro B con raggio AB che
Bibliografia
interseca la diagonale del quadrato ABCD in un punto O;
AA. VV. Enciclopedia delle Matematiche Elementari
• traccio una circonferenza di centro O e raggio OA,
Vol. I, I Milano, 1930
che interseca il quadrato ABCD nei punti F e G;
C. Hill Le origini intellettuali della Rivoluzione inglese
• disegno la parallela a BC passante per F e la parallela
Bologna, 1976
ad AB passante per G, esse si incontrano nel punto E.
G. Loria, Storia delle Matematiche, Milano, 1982
PROPOSTE DI LAVORO
A
H
D
5,29 cm
O
Un problema di
F
E
FLAT landia
a cura della Redazione
B
G
C
Q uesta rubrica, iniziata nel lontano n. 9 del bollet-
tino, è stata sospesa in concomitanza con l’avvio
di FLATlandia, attività in cui ogni mese viene presenta-
Dimostrare, senza ricorrere al calcolo algebrico, che
to un problema di geometria agli studenti delle scuole
BEFG è quel quadrato in cui la somma del lato e della
medie e superiori (http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/flat-
diagonale è uguale al segmento AB.”
landia). Nel mese di Febbraio 2002 è stato proposto ai
ragazzi che seguono FLATlandia un problema in cui si
Si è pensato di ripristinare temporaneamente questa
chiedeva di eseguire una costruzione. Questo è il testo:
rubrica affinché gli insegnanti che ritengono opportuno
E’ dato un segmento AB di lunghezza a.
assegnare la dimostrazione qui richiesta ai loro allievi
1 Costruire un quadrato che abbia AB come somma tra
(eventualmente come ripasso di geometria in una classe
la diagonale e il lato. Motivare la costruzione
terza) possano inviare la risposta entro Settembre, con
2 Calcolare in funzione di a il lato del quadrato ottenuto.
l’indicazione del nome o dei nomi (se si tratta di un
Si riporta di seguito una parte del commento che accom-
gruppo), della classe, scuola e località.
pagna le soluzioni di quel mese:
La risposta puo’ essere inviata come allegato via e-mail
“[…] Eravamo perplessi sulla opportunità di proporre
o su dischetto, per posta ordinaria, alla redazione del
tale problema, ci ha invece sorpreso il numero delle
bollettino CABRIRRSAE.
19
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
la recensione del mese
CABRIWEB
un’applicazione per costruire pagine web di geometria dinamica
di Luigi Tomasi
CabriWeb è un’applicazione, scritta in linguaggio Java,
La costruzione di un applet con CabriWeb
che permette di costruire facilmente un applet di geometria
Apriamo la figura Dev-cube.fig con CabriWeb. A questo
dinamica e di creare una pagina web contenente un applet.
punto sono proposti due menu.
CabriWeb è quindi un ottimo complemento a CabriJava e
Menu Edit: permette di scegliere i parametri da utilizzare
a Cabri-géomètre per la rete. L’autore di CabriWeb, così
nell’applet e che saranno riportati nella pagina HTML una
come di CabriJava, è Gilles Kuntz, dell’IMAG - Institut
volta salvati. Il colore di sfondo può essere scelto in una
d’Informatique et Mathématiques Appliquées di Grenoble
palette di 216 colori. Si possono anche mettere delle
(Francia). Il programma CabriWeb si può prelevare nel
immagini di sfondo che devono essere nel formato GIF
seguente sito:
(estensione .gif) o JPEG (estensione .jpg). Tutti i parametri
http://www.cabri.net/cabrijava/CabriWeb.html
dell’applet possono essere scelti direttamente tramite
Nello stesso sito è possibile trovare anche una pagina che
questo menu, comprese le animazioni e le tracce.
spiega come utilizzare CabriWeb. Nel seguito si presentano
CabriWeb supporta i menu in dieci lingue, tra cui l’italiano.
brevemente alcune sue caratteristiche e un esempio di uti-
Menu File: permette di fissare alcuni aspetti della figura o
lizzazione.
di salvare il file HTML contenente l’applet e i parametri
Come iniziare con CabriWeb
che riflettono lo stato della figura aperta con CabriWeb. Si
Si scarica dalla rete l’applicazione e la si mette in una
noti che il file HTML viene salvato da CabriWeb solo se
cartella del disco fisso del proprio computer. Per fare
prima si specifica la posizione del file CabriJava.jar. È per
questo basta scompattare il file prelevato dal sito. Viene
questo motivo che, prima di assegnare il nome e di fornire
creta una cartella di nome CabriWeb nel disco fisso del
la cartella dove salvare il file HTML che si sta creando,
computer. In questa cartella si deve mettere anche il file
viene proposta una finestra di dialogo per la scelta della
CabriJava.jar, che si preleva dal sito:
posizione di questo file. La posizione del file CabriJava.jar,
http://www.cabri.net/cabrijava/
come tutti gli altri parametri dell’applet, può essere salvata
Si tenga presente che senza quest’ultimo file - che contiene
in un file che contiene le preferenze dell’utente. Alla suc-
l’applet CabriJava - CabriWeb non può funzionare. Nella
cessiva apertura di una figura in CabriWeb, saranno dunque
stessa cartella mettiamo anche una figura creata con Cabri,
riutilizzati i parametri salvati precedentemente.
ad esempio Dev-cube.fig, che vogliamo trasformare in un
Salvando il file HTML si ottiene, in aggiunta ai precedenti,
applet. Nella cartella CabriWeb, ci sono per ora questi file:
un nuovo file, chiamiamolo Dev-cube.html, che contiene
CabriWeb.bat, CabriWeb.jar, CabriJava.jar, Dev-cube.fig.
l’applet. La voce del menu “Trasferisci sul Web” permette,
Con un doppio clic sull’icona del file CabriWeb.bat, in
una volta stabilita una connessione a Internet, di trasferire
ambiente Windows, si manda in esecuzione l’applet
la pagina Web, la figura di Cabri e l’immagine di sfondo in
(esistono anche le versioni per Mac e per Linux). Si apre
un sito appositamente creato per permettere la pubbli-
una finestra vuota che contiene i menu File e Edit. Con la
cazione on-line di figure di Cabri con un semplice clic.
voce Language del menu Edit scegliamo la lingua italiana
Prima della chiusura, CabriWeb propone anche di aggiun-
e tramite la voce del menu “Apri”, scegliamo una figura
gere un link alla galleria delle figure CabriJava presenti
(che sia stata costruita con il software Cabri-géomètre II)
nell’indirizzo:
oppure un file HTML contenente un applet.
http://cabrijava.free.fr
Usciti da CabriWeb, per visualizzare la figura in una pagina
Web, basta fare un doppio clic sul file in formato HTML,
nel nostro caso su Dev-cube.html. Tale file viene aperto
con Internet Explorer o con un altro browser (Netscape,
ecc.) e la figura - contenuta come applet in una pagina web
- si può manipolare come se fosse una figura di Cabri.
20