Significato Matematico Degli Assiomi
Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di
definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali.
Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:
1. Esiste un numero naturale, 0 (o 1)
2. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3. Numeri diversi hanno successori diversi
4. 0 (o 1) non è il successore di alcun numero naturale
5. Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni
proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano
sottindende anche gli assiomi logici che gli permettono di operare con la logica simbolica.
Significato matematico degli assiomi [modifica]
In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna
composta
dall'insieme dei numeri naturali
, lo zero e la funzione "successore"
può essere
caratterizzata a meno di isomorfismi (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti assiomi di
Peano:
(P1) Esiste un numero
(P2) Esiste una funzione
(chiamata "successore")
(P3)
implica
(P4)
per ogni
(P5) se U è un sottoinsieme di tale che:
1.
2.
implica
allora
Analizziamo la funzione di ciascun assioma:
•
(P1) ci dice che l'insieme
non è vuoto specificandone un elemento (0);
•
(P2) afferma l'esistenza di una funzione S (la funzione successore) di cui l'insieme è
dominio e codominio.
•
(P3) dice che S è una funzione iniettiva; questo ci permette di escludere modelli in cui
partendo da 0 e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare
su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;
•
(P4) dice che 0 non è nell'immagine di S, questo ci permette di escludere modelli in cui
iterando la funzione successore si possa compiere un loop che ritorni al punto di partenza;
questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di
elementi.
•
(P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di Principio di induzione ed è uno
strumento molto usato nelle dimostrazioni: quello che ci dice è che l'insieme dei numeri
naturali è il più piccolo insieme che contenga lo 0 e che contenga il successore di ogni suo
elemento (cioè che sia chiuso rispetto alla funzione successore). Questo assioma ci permette
di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza
infinita dei successori dello zero.
Cacciaguida (Firenze, 1091 ca. – Palestrina, 1148 ca.) è stato un militare italiano, trisavolo di
Dante Alighieri.
Non sappiamo molto su di lui; le uniche fonti dirette che ne attestano l'esistenza sono due
documenti del 1189 e del 1201, le altre notizie ci sono state tramandate dal suo illustre discendente
in forma indiretta nella descrizione del loro incontro nel Paradiso. Si sa che fu nominato Cavaliere
da Corrado III di Svevia e che lo seguì nella Seconda Crociata (1147-1149), trovandovi la morte.
Cacciaguida, illustrazione di Gustave Doré
Dante immagina di incontrare l'avo durante il suo viaggio nel Paradiso, traversando il cielo di Marte
che ospita le anime dei combattenti per la fede e la cronaca dell'incontro occupa ben tre canti (dal
XV al XVII) della terza parte della "Divina Commedia". Al di là del valore letterario ed artistico, i
tre canti sono anche importanti dal punto di vista storico perché ci forniscono numerose
informazioni sulla famiglia Alighieri e sulla Firenze del XII secolo.
Nel canto XV, Cacciaguida racconta a Dante come era la Firenze dei suoi tempi, ancora compresa
nella prima cinta di mura, risalenti all'epoca di Carlo Magno: ai tempi di Dante era stata costruita
una seconda cerchia, risalente al 1173, che sarà poi a sua volta sostituita da una terza nel 1284. La
piccola Firenze di quei tempi viene descritta come una cittadina sobria e pacifica, così diversa da
quella dell'età del Sommo Poeta: allora, ci dice Cacciaguida, le donne non andavano a spasso con
vestiti costosi ed ingioiellate; la nascita di una figlia non era vista con paura per la futura ricca dote;
le case erano modeste e il panorama di Firenze non era ancora fastoso; non erano presenti i vizi
sessuali; i nobili andavano vestiti modestamente e non si vergognavano di esercitare professioni
umili; le famiglie non correvano il pericolo dell'esilio o dei trasferimenti per motivi commerciali e
che allora avrebbero fatto "notizia" i personaggi dissoluti, non quelli onesti come ai tempi del
nipote. Alla fine del canto, veniamo a sapere che Cacciaguida ebbe due fratelli, Moronto ed Eliseo
(di cui non sappiamo nulla), che sposò una donna dell'Alta Italia (una Aldighieri di Ferrara,
preciserà in seguito Giovanni Boccaccio), che da lei ebbe origine il cognome Alighieri e le
successive vicende della sua vita fino alla morte.
Nel canto XVI, Cacciaguida risponde ad alcune domande che Dante gli pone sulla Firenze passata:
dalle risposte veniamo così a sapere che allora la città aveva un quinto degli abitanti di quella del
1300; che non aveva ancora visto l'immigrazione di famiglie del contado, spesso portatrici di
delinquenza e che il confine della città era allora a Galluzzo ed a Trespiano. Cacciaguida dice che
questa immigrazione di gente nuova, favorita dalla Chiesa, è causa delle discordie attuali, che
porteranno alla rovina della città e conclude elencando alcune celebri famiglie fiorentine potenti
allora ma decadute al tempo del nipote. Il canto termina col racconto del celebre scontro tra Amidei
e Buondelmonti del 1215, che diede origine alle lotte tra Guelfi e Ghibellini.
Nel canto XVII, Cacciaguida predice a Dante gli eventi della sua vita futura, ossia l'esilio da
Firenze e la sua vita raminga e solitaria, ed inoltre rivela la missione di Dante una volta tornato nel
mondo: per bocca di Cacciaguida infatti Dio investe Dante del compito di rivelare la sua volontÃ
all'umanità per salvarla, egli infatti riceve il ruolo di poeta-profeta. Particolare curioso: i versi 58 e
59 recitano "Tu proverai sì come sa di sale lo pane altrui...", segno forse che già allora a Firenze si
usava consumare pane non salato.
Sistemi di numerazione sono i sistemi utilizzati per esprimere dei numeri e possibilmente alcune
operazioni che si possono effettuare su di essi. I numeri, a cominciare dai cosiddetti numeri naturali,
fin dai tempi antichi si sono rivelati strumenti necessari per affrontare problemi di importanza
fondamentale (contare, misurare, commerciare, amministrare, formulare e far rispettare leggi,
sviluppare conoscenze scientifiche e tecniche, ...). quindi presso tutte le culture delle quali si
conosce qualche forma di organizzazione sono state sviluppate notazioni numerali. La storia di
questi sviluppi è piuttosto complessa e travagliata e purtroppo di molti fatti e di molte motivazioni
si è persa traccia. Su di essa si possono però fornire indicazioni che per molti possono presentare
grande interesse, soprattutto in quanto collegate a temi culturali e conoscitivi di grande rilevanza.
Indice
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•
1
Ti
pologie
o
1.1
I l sistema decimale-posizionale
o
1.2
N
otazioni numeriche alfabetiche
•
2
Ev
oluzione dei sistemi numerici
o
2.1
I numeri concreti
o
2.2
C
orpo umano e prime basi numeriche
o
2.3
L
a mano come strumento di conta e le sue basi numeriche

2
.3.1 I piedi e la base 20

2
.3.2 L
e falangi e la base 12

2
.3.3 I l mistero della base 60

2
.3.4 I l trionfo della base 10
•
3
V
oci correlate
•
4
B
ibliografia
Tipologie [modifica]
Gli Algoristi contro gli Abacisti, di Gregor Reisch; Margarita Philosophica, 1508.
A grandi linee si può dire che nel passato sono state adottate svariate notazioni numerali in gran
parte poco razionali fino a giungere con una certa fatica alle notazioni oggi più diffuse, pratiche e
canoniche, le notazioni posizionali decimali. Con lo sviluppo del computer si sono posti altri
problemi che oggi sono padroneggiati in modo abbastanza soddisfacente. Dalla metà del XX secolo
si sono quindi precisati sistemi di numerazione adatti non solo agli esseri umani, ma anche alle
macchine. Per soddisfare certe esigenze accanto al sistema canonico vengono considerati alcuni
sistemi esotici che presentano alcuni pregi pratici e un certo interesse matematico.
Per approfondire, vedi la voce Storia dei numeri.
I sistemi di numerazione si riferiscono quindi alla successione dei cosiddetti numeri naturali. Per
ovvi motivi, i più antichi sistemi di numerazione hanno base dieci, con riferimento all'atto di
contare con le dita delle mani.
Possono essere di tipi differenti: per esempio, gli antichi Romani usavano un sistema basato
essenzialmente sul numero cinque (vedi numeri romani), additivo e non posizionale: il simbolo X
rappresenta sempre il numero dieci, V il numero cinque, e così via; invece, il comune sistema
decimale che tutti impariamo a scuola, è di tipo posizionale: ogni cifra assume un significato
diverso a seconda della posizione in cui si trova (unità , decine, centinaia, ecc.); i sistemi di tipo
posizionale ci sono stati tramandati dagli Arabi.
Per una definizione più formale di sistema di numerazione posizionale:
•
si sceglie un qualsiasi numero
naturale b (diverso da zero e da
uno), che chiameremo base
•
si scelgono b simboli diversi,
che chiameremo cifre
•
si compongono i numeri
tenendo presente che il valore
di ogni cifra va moltiplicato
per:
o
b0 cioè 1 (unità ) se è
l'ultima cifra alla destra
del numero che stiamo
considerando
o
b1 cioè b se è la seconda
cifra da destra,
o
b2 se è la terza cifra da
destra,
o
e così via, b(n-1) se è la
n-esima cifra da destra
•
la somma tutti i valori così
ottenuti è il numero che stiamo
considerando
Il sistema decimale-posizionale [modifica]
Le ragioni della superiorità del sistema numerico decimale-posizionale, che si è diffuso dall’India,
sono il principio posizionale (che di per sé denota i diversi ordini numerici) e l'uso di dieci simboli,
comprensivi dello zero (che colmava i vuoti in un sistema posizionale). Un sistema posizionale è un
naturale e sistematico sviluppo del sistema moltiplicativo in cui viene usata una base fissa,
spariscono come superflui determinativi e moltiplicatori e dove il coefficiente è rappresentato dalla
posizione della cifra nell'intera rappresentazione numerica. Le altre notazioni dovevano dare ad
ogni cifra un valore fisso a prescindere dalle posizioni. Nella numerazione cinese i segni per 7829
sono 7 mentre col sistema da noi utilizzato sono 4. Nel nostro sistema sono soppressi gli indicatori
delle potenze di 10 e le cifre delle unità prendono diverso valore a seconda delle posizioni (misto
ideale tra il numero di cifre e la necessità di iterazione delle stesse). In questo modo il linguaggio
scritto comunica una fitta rete di concetti mediante semplice permutazione di pochi simboli.
Il sistema decimale-posizionale consente anche una comoda esecuzione di operazioni aritmetiche: si
mettono i numeri da sommare uno sotto l'altro e li si può addizionare colonna per colonna
riportando i totali eccedenti il 10 nella colonna a fianco (ordine superiore). Se si usano invece i
numeri romani non c’è una notazione che abbia efficacia algoritmica (non è possibile cioè fare
operazioni se non ricorrendo ad un supporto esterno, tipo l'abaco).
Questo sistema è anche una sorta di metafora ontologica e sociale di una gerarchia funzionale (e
non rigida e letterale come quella egizia con i diversi ordini numerici irriducibili gli uni agli altri) di
livelli ontologici che funzionano come vasi comunicanti ed in cui c’è il passaggio dalla quantità alla
qualità ed in cui c’è il novum.
Babilonesi, Cinesi e Maya con il principio di posizione già furono capaci di rappresentare qualsiasi
numero con una quantità ridotta di cifre di base, ma ebbero dei limiti:
•
I babilonesi non associarono
cifre diverse alle 59 unitÃ
significative del primo ordine,
ma iteravano i due simboli
disponibili. Essi purtroppo non
concepirono lo zero né come
numero (quantità nulla) né
come operatore aritmetico.
•
I Cinesi mantennero la
notazione ideografica e
reintrodussero elementi di
notazione moltiplicativa.
Inoltre il loro uso dello zero fu
sporadico e poco significativo.
•
I Maya con l'anomalia del
moltiplicatore del terzo ordine
numerico persero la possibilitÃ
di utilizzare lo zero come
operatore.
Perché il nuovo sistema posizionale manifestasse tutte le sue positive potenzialità bisognava
aspettare la grande esperienza indiana.
LA MATEMATICA
NELLA DIVINA COMMEDIA
BRUNO D’AMORE
Sebbene moltissimi siano oramai gli studi di vari Autori dedicati all’analisi della presenza della
matematica nell’opera di Dante e nella “Divina Commedia†in particolare, con grande stupore ci si
accorge che esiste sempre qualche angolo inesplorato o qualche verso che può ancora fornire
argomento di riflessione e di studio; lo stupore cessa ogni volta, quando si riflette sulla grandezza
dell’Opera ...
A costo di ripetere cose già dette, nella speranza di cogliere sfumature diverse o angolazioni
sfuggite, dividerò questo breve saggio (ché ben altro si potrebbe aggiungere) in tre paragrafi,
specializzando i riferimenti in base ad un criterio matematico: aritmetica e probabilità nel primo,
logica formale nel secondo, geometria nel terzo. Porrò le note ed i riferimenti bibliografici al
termine di ciascun paragrafo, proprio per specializzare ancor più la trattazione.
1. Aritmetica e Probabilità .
Dopo il 1290 (dunque all’età di 25 anni) e per circa 30 mesi, Dante studia filosofia ed in particolare
Boezio (come apprendiamo dal “Convivioâ€). Ma Anicio Manlio Torquato Severino Boezio (480-
524) (l’autore del “De consolatione philosophiaeâ€) non è solo il traduttore delle opere di Nicomaco
e di Euclide, bensì egli stesso valente matematico, autore di pregevoli trattati di Geometria e di
Aritmetica; scrive, per esempio, un “De Institutione Aritmetica†(Dante lo incontra in Par. X 125-
129).
Quale e quanta aritmetica conosceva Dante? È ben noto che la “Divina Commedia†è ricchissima di
riferimenti numerologici; ora, però, di fatto, per i calcoli necessari alla numerologia non occorre poi
una grande competenza aritmetica. Non è quindi al Dante numerologo che occorre guardare per
avere la risposta alla nostra domanda, ma puntare di più l’attenzione sulla presenza di una vera e
propria conoscenza aritmetica. A questo proposito, molti Autori si sono già posti autorevolmente il
problema come, per esempio Beniamino Andriani in [A]. [l] Aggiungerò dunque considerazioni con
poca speranza di novità .
Sappiamo che Dante fu scolaro al convento francescano di Santa Croce a Firenze e poi, pare, al
convento domenicano di Santa Maria Novella, dapprima Studium Solenne, poi, dal 1295, Studium
Generale. Essere scolari a Firenze non è come esserlo in altre città : a Firenze, ed in tutta la Toscana,
era possibile avere Maestri d’Abaco di alto prestigio.
Sappiamo, per esempio, che Jacopo, figlio di Dante, è addirittura allievo di Paolo dell’Abaco (morto
tra il 1364 ed il 1372) che insegna in una delle poche scuole d’abaco fisse (di fronte alla chiesa di
Santa Trinità ). Forse Dante viene a contatto con il Libro d’Abaco cui Paolo deve il suo nome?
Secondo la testimonianza di G. Arrighi, pare che tale trattato di Paolo risalga agli anni intorno al
1339, ma non è escluso che ne esistessero versioni preliminari, per esempio sotto forma di appunti
di scolari. Forse Dante, nella sua sete di sapere, viene a contatto con il “Liber Abaci†di Leonardo
figlio di Bonaccio, il Pisano? [2]
Certo, Dante sembra essere molto attento alla cultura, anche scientifica, del suo tempo: ancora
bambino; frequenta a Siena alcune lezioni di Pietro Ispano (1220-1277) e qui certo apprende
l’efficacia del metodo euristico nelle scienze (ancora piuttosto ingenuo). [3]
Anche in alcuni suoi passi tuttora di interpretazione dibattuta, sarebbe molto interessante avere le
risposta alle precedenti domande; infatti, non ostante un articolo dello Statuto dell’Arte del Cambio
di Firenze che nel 1299 vietava l’uso dei numeri Arabi ([A], pago 118), piuttosto diffuso nei Trattati
d’Abaco è l’uso del sistema arabo-indiano (le “fighure delli Indiâ€) nella scrittura aritmetica e di
conseguenza la manipolazione di sempre più rapidi algoritmi di calcolo. Ciò significa, per esteso:
- uso di un sistema posizionale
- a base dieci
- uso dello zero
Tutte queste sono assolute novità , rispetto alla numerazione latina nella quale non c’è sistema
posizionale, non c’è zero (non ce n’è bisogno), mentre in effetti in essa il numero dieci gioca un
ruolo dominante anche se non come “base†così come si diffonderà poi grazie all’opera di Leonardo
Fibonacci ed altri. [4]
Un celebre ed apparentemente banale passo con riferimento all’aritmetica si trova in Par. XV 55-57:
… … … … … … … … … … …
Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch’è primo, cosi come raia
da l’un, se si conosce, il cinque e’l sei;
… … … … … … … … … … …
Sono le celebri frasi che Cacciaguida rivolge a Dante: “Tu hai ferma convinzione che il tuo
pensiero
discenda, si riveli direttamente a me da Dio, primo Ente e principio di ogni cosa, cosi come dalla
conoscenza dell’unità deriva quella di tutti gli altri numeri†[S]. In tempi moderni si direbbe che,
ammessa l’unità , si possono costruire i numeri naturali n, n + 1, intendendo con ciò tutti i numeri
[Cim]. In effetti, la notazione “nâ€, tipica oggi del matematico, intesa ad indicare un numero
qualsiasi, è assai più recente; quel “il cinque e’l seiâ€, come nota Sapegno, sta ad indicare numeri
generici successivi. D’altra parte anche Euclide, quando vuol considerare un numero generico di
numeri primi, ne prende tre (mi riferisco al celebre teorema: Dato un numero primo qualsiasi, se ne
può sempre trovare un altro maggiore, che si trova negli “Elementiâ€).
Detto ciò, mi pare che l’affermazione di Dante non sia di grande rilevanza aritmetica; credo che
qualsiasi persona anche di modesta cultura possa ben comprendere che, avendo a disposizione
l’unità , sia ragionevolmente facile costruire o raggiungere qualsiasi altro numero per addizione
ripetuta di essa. Dico ciò espressamente perché si è voluto invece vedere in questa frase addirittura
qualche anticipazione dell’intuizione di Giuseppe Peano (1858-1932) che, com’è ben noto, ideò un
sistema assiomatico dei numeri naturali; pur con tutto l’amore che possiamo nutrire per Dante,
questa interpretazione (si veda, per es., [Cim]), mi sembra eccessiva.
Molto più interessante trovo un altro riferimento aritmetico, quello che si trova in Par. XXVIII 91-
93:
… … … … … … … … … … …
L’incendio suo seguiva ogni scintilla;
ed eran tante, che ‘l numero loro
più che ‘l doppiar delli scacchi s’immilla.
… … … … … … … … … … …
Il grande numero cui si fa riferimento può essere inteso come quello degli angeli che nascono;
questi
non si contano a uno a uno, ma (forzando un po’ la mano, si potrebbe dire, interpretando quasi oltre
il lecito) a mille a mille. Quanto è grande il numero di questi angeli? Ebbene, Dante afferma che il
loro immillarsi supera “il doppiar delli scacchiâ€. È un evidente riferimento (attraverso la mediazione
di una linea topica) alla famosa leggenda di Sissa Nassir, l’inventore degli scacchi; egli chiese come
ricompensa al suo entusiasta sovrano qualche cosa di apparentemente assai modesto: presa la
scacchiera 8 per 8, egli chiese un chicco di riso (altre volte si trova di grano) sulla prima casella; il
doppio, cioè 2, sulla seconda; il doppio ancora, cioè 4, sulla terza; il doppio ancora, cioè 8, sulla
quarta; e così via, fino all’ultima casella, la sessantaquattresima, appunto. Con calcoli abbastanza
agevoli, oggi, specie con l’uso di un calcolatore, ma che risultano essere ardui assai con il sistema
romano, si trova che il numero di chicchi dovuti a Sissa Nassir è il seguente: 18 446 744 073 709
551 615, addirittura illeggibile! Con una scrittura più compatta, oggi si preferisce la notazione
cosiddetta scientifica: 1,8447´1039.
Per rendersi conto della enormità di questo numero, si può ricorrere al seguente espediente:
immaginare di distribuire i chicchi di Sissa Nassir su tutta la superficie terrestre, la cui misura,
espressa in base ai dati attuali (e non quelli dei tempi di Dante), compresi mari, oceani, deserti,
ghiacciai, montagne, ecc., è di circa 5,0995´1018 cm2 . Se distribuiamo i chicchi, troviamo 3,62
chicchi (diciamo pure, per arrotondare, 3 chicchi e mezzo) per ogni cm2 di superficie terrestre! (Il
che spiega perché il sovrano si sentì preso in giro e, anziché premiare Sissa Nassir, gli fece mozzare
la testa, ottenendo, tra l’altro, un immenso risparmio). Ma il numero degli angeli “più cheâ€
raddoppiare, come i chicchi sulla scacchiera, “s’immillaâ€; se si rifà lo stesso calcolo immillando
(nella nostra interpretazione) invece che raddoppiando, si trova un numero immenso, ma pur
sempre
finito: 10189 (tanto per avere un’idea, 2´10170 angeli per cm2 di terra ... E c’è da rallegrarsi del fatto
che gli angeli siano immateriali!).
Dante sapeva fare questi calcoli? Se sì, con quali strumenti? Non certo con il metodo dei latini!
Anche se non sapeva farli, conosceva qualcuno che li aveva fatti? Era tra le nozioni diffuse
dell’epoca? Quel che è certo, è che ai suoi tempi circolavano vari giochi matematici soprattutto sui
Libri d’Abaco. La tradizione dei giochi matematici è illustre; basti pensare all’“Ad acuendos
juvenes†di Alcuino (735-804), “ministro†di Carlo Magno, che certo traeva ispirazione da testi di
Beda il Venerabile (674-735) (che Dante pone in Par. X 131 accanto ad un altro grande
enciclopedista, Isidoro di Siviglia (560-636)). Per fare un esempio, il celeberrimo indovinello della
capra, del lupo e del cavolo che devono superare un fiume su una barca, appare sia su questo libro
di
Alcuino sia in opere di Beda [5]. Mi parrebbe plausibile che tali indovinelli circolassero tra le
persone colte a Firenze; e che uno spirito arguto e profondo come Dante non potesse non
apprezzarli.
Sebbene io abbia deciso di evitare nelle mie ricerche sulla presenza della matematica in Dante tutto
quanto riguarda la numerologia, non posso non ricordare Purg. XXXIII 37-45, ed in particolare:
… … … … … … … … … … …
nel quale un cinquecento diece e cinque
… … … … … … … … … … …
numero la cui interpretazione ha fatto discutere curatori, commentatori, lettori e critici. Se si scrive
il numero nel sistema allora più diffuso, quello romano, si trova DXV. È un anagramma? Di DUX,
cioè forse Arrigo VII? Non è un anagramma? E allora potrebbe essere il monogramma greco di
Cristo (Unto del Signore); oppure è Domini Xristi Vergatus, il famoso misterioso Veltro, figura
d’altra parte assai ricorrente. Oppure potrebbe essere Domini Xristi Vicarius, cioè: il papa. Gli
anagrammi numerici erano molto diffusi nel Medioevo ed è quindi probabile da Dante vi abbia fatto
ricorso. Ma la mancanza di un’interpretazione sicura (cioè: autorevole tanto da mettere tutti
d’accordo ... per un po’), mi lascia ampi spazi di immaginazione. Si può pensare non a DXV ma a
515, nella forma araba, supponendo che Dante se ne fosse già appropriato. si tratta di un numero
che
i numerologi hanno già studiato: sarebbe la distanza tra Terra e Cielo, espressa in anni, facendo
riferimento ad Ezechiele I 7. ciò se Si accetta come lingua-base dell’interpretazione numerologica
l’ebraico [6]. Se invece si accetta il greco, 515 ha come codificazione Parthenos, “Vergineâ€. Se,
singolare coincidenza?, si accetta il latino, 515 si codifica in “Mater Christiâ€. La “coincidenza†ha
già scatenato ridde di “autorevoli esperti†in dispute ...
Appaiono, sempre nella “Divina Commediaâ€, molti altri passi aritmetici che sto raccogliendo e
studiando per un ‘opera futura; in questo breve saggio mi limito a queste poche citazioni, non senza
ricordare il paragone che Dante fa nel “Convivio†tra l’aritmetica e il Sole: così come il Sole
illumina gli altri corpi celesti e di esso non è possibile sostenere la vista, così l’aritmetica illumina e
permea tutte le altre discipline scientifiche; sull’infinità dei numeri l’occhio dell’intelletto non può
fermarsi “però che ‘l numero quant’è in sé considerato, è infinito, e questo
non potremo noi intendereâ€.
Com’è annunciato nel titolo di questo paragrafo, passerò ora alla probabilità che, scienza moderna
per eccellenza [7], doveva ancora del tutto costituirsi come tale ai tempi di Dante; a proposito di
questa disciplina, ho trovato un solo passo, peraltro famosissimo e citatissimo, in Purg. VI 1-3:
Quando si parte il gioco della zara,
colui che perde si riman dolente,
repetendo le volte, e tristo impara:
… … … … … … … … … … …
Anche per quanto concerne questo passo, voglio frenare scorretti entusiasmi; c’è stato chi ha voluto
vedere in questi versi un’anticipazione della teoria della probabilità , quella che più tardi G. Cardano
(1501-1576), G.Galilei(1564-1642), P. Fermat (1601-1665) ma soprattutto B.pascal (1623-1662)
affronteranno in modo corretto e consapevole. Non basta parlare di un gioco di dadi per farne
un’analisi matematica significativa ...
Questo passo è uno dei più celebri ed amati dai cultori ... matematici di Dante, più e più volte citato;
vi si cela l’analisi probabilistica ingenua (“repetendo le volteâ€) da parte di un giocatore sconfitto
(“colui che perdeâ€) ad un gioco di dadi (“il gioco della zaraâ€), diffusissimo (stando alle
testimonianze del giurista Odofredo, morto nel 1265) non solo tra la plebe medioevale (tanto da
arrivare ad essere vietato sulle strade e sulle piazze, in più occasioni, per esempio a Bologna, dove
si
chiamava “ludus ad gnaffum†nel 1272), ma anche tra i giullari e gli uomini di corte, come
testimonia, per es. Antonio da Ferrara (1315-1370 c.a.). In arabo, “dado†è “zahar†o “zahr†ed il
gioco, che ha molte varianti, è presto spiegato in quella più diffusa in Italia: si gettano 3 dadi su una
superficie piana (può essere un tavolo ma spesso veniva giocato per strada sul selciato). I due
giocatori, nel breve intervallo di tempo che intercorre tra il lancio dei dadi ed il loro arresto, dicono
ciascuno un valore: vince la posta chi azzecca il risultato. I valori possibili sono, ovviamente, quelli
che vanno da 3 a 18 compresi; ma, per regola, 3, 4, 17, 18 sono valori, per così dire, “neutriâ€, sui
quali i giocatori non possono puntare (un po’ come zero alla roulette; qui, però, non c’è il “bancoâ€).
L’analisi del gioco è matematicamente assai banale: due numeri, 10 e 11, hanno probabilitÃ
maggiori di uscire di tutti gli altri e puntare sui valori-limite ammessi, cioè 5 e 16, dà poche
occasioni di vittoria. Nella edizione critica ad uso scolastico [S] a pag. 58, emblematico è il fatto
che, nella nota a pie’ pagina, nel tentativo di dar ragione all’accomunare i valori 3, 4, 17, 18
nell’esclusione, si trovi la seguente spiegazione: ciò è dovuto al fatto che la loro possibilità di uscita
è unica. Ora, l’analisi è corretta nei casi 3 e 18 i quali hanno in effetti probabilità 1 su 216 di
apparire; ma 4 e 17 hanno probabilità non uguale a quella, bensì addirittura tripla: 3 su 216. Né
miglior sorte spetta alla appendice della voce “zara†dell’“Enciclopedia Dantescaâ€; ivi, a pag. 1166
si trova: “Erano considerati nulli (...) i numeri ottenibili con una sola combinazione tra i tre (...) dadi
(ossia i due numeri più bassi e i due numeri più alti possibili: 3 e 4, 17 e 18 per il gioco con i tre
dadi (...)â€. Se è vero che Dante rappresenta ancora oggi un esempio straordinario di unificazione
delle snowiane “due cultureâ€, è, ahimè, altrettanto vero che da molto tempo si è persa ogni speranza
di proseguire su questa strada: la specializzazione culturale fa sì che anche il più grande competente
della disciplina A rischi di essere del tutto ignorante nella B, con grande nocumento per entrambe.
Note.
[1] Molto si potrebbe qui dire sul significato che vari studiosi hanno voluto dare alle matematiche,
anche se queste esulavano dal loro specifico campo d’interesse. Vorrei qui ricordare il pensiero di
Agostino di Tagaste (354-430) per il quale l’aritmetica ha valore ascetico. (Si veda [Car], ad
esempio).
[
Quanti sono gli angeli del cielo? Secondo Dante, un 10 seguito da 188 zeri, un numero enorme,
impossibile da leggere, eppur preciso. Lo si ricava dai suoi versi del Paradiso, XXVIII 91 - 93: L'incendio
suo seguiva ogni scintilla;/ ed eran tante, che 'l numer loro/ più che 'l doppiar delli scacchi s'inmilla. Il
riferimento è a una famosa leggenda in cui si narra la storia dell'inventore degli scacchi, che chiese in
regalo al suo sovrano, entusiasta del gioco, un chicco di riso sulla prima casella della sua scacchiera 8 per
8, il doppio sulla seconda, cioè 2, il doppio ancora sulla terza, cioè 4, e sempre raddoppiando, 8, 16, 32, 64
e così via sulle caselle successive, fino all'ultima, la sessantaquattresima. Il risultato è un numero
impressionante, più di 18 miliardi di miliardi di chicchi, circa 3 chicchi e mezzo per ogni centimetro
quadrato della superficie terrestre. E molto più grande sarebbe il numero degli angeli, perché dovremmo
rifare lo stesso calcolo, non con le potenze del due, ma con le potenze del mille, per arrivare al numero che
abbiamo
indicato.
La Commedia è ricca di riferimenti matematici che confermano la profonda cultura scientifica di Dante,
una cultura diffusa tra i letterati e le persone colte dell'epoca, certo più di quanto non lo sia oggi. E molti
sono andati alla ricerca della matematica nascosta nei versi di Dante, arrivando persino a vedere, con un
po' di azzardo, nella struttura del Paradiso dantesco un'ipersfera, cioè una comune sfera elevata a una
dimensione
superiore.
Nella cartella di tutti gli studenti c'è la Commedia e il libro di geometria. Da una parte troviamo i teoremi
in versi di Dante, ad esempio, Paradiso, XVII 13 - 15: O cara piota mia, che sì t'insusi,/ che come veggion
le terreni menti/ non capere in triangol due ottusi. Dall'altra l'enunciato dello stesso teorema, nelle parole
di Euclide, Elementi, Libro I, teorema XVII: In ogni triangolo, la somma di due angoli qualsiasi è sempre
minore di due angoli retti. Ma sono rari gli insegnanti disposti a cercare un collegamento tra il mondo
della poesia e quello dei numeri, e non esiste purtroppo collaborazione tra chi insegna italiano e chi
insegna matematica. Un'occasione unica per tentare questo avvicinamento tra due mondi ancora separati,
almeno nella scuola, è proposta da Bruno D'Amore, docente di Didattica della Matematica all'università di
Bologna. Negli originali racconti del suo nuovo libro Più che 'l doppiar de li scacchi s'immilla (titolo che
riprende il verso che abbiamo citato) D'Amore toglie la corona d'alloro al poeta sommo presentandolo
nella sua vita quotidiana, con un ritratto un po' irriverente, giocato tra documentazione storica e
immaginazione, innamorato del buon vino e della buona tavola, frequentatore assiduo di bettole di infimo
ordine e di donne di facili costumi; ma soprattutto sempre curioso di sapere, alla ricerca delle novitÃ
culturali del suo tempo, nel momento affascinante in cui la cultura araba arriva in occidente. E ritroviamo
Dante alle prese con problemi di calcolo delle probabilità , in dispute sulla logica e sull'infinito, alla
scoperta delle cifre arabe o, in giro per l'Italia, a confronto con amici e maestri, nella continua ricerca
d'ispirazione
per
i
suoi
versi
matematici.
"Tutto qui - mette le mani avanti D'Amore - è frutto d'invenzione, o quasi", e colloca in appendice, per
maggior chiarezza, un'accurata analisi della matematica e della logica nascosta nei versi di Dante, e la
presentazione dei matematici che Dante può aver letto o incontrato, dimostrando invece l'attenta
documentazione
alla
base
del
suo
racconto
.
Il risultato è un libro colto e divertente, il libro che mancava nella cartella dello studente, fra Dante ed
Euclide, proprio per tentare una riconciliazione fra numeri e poesia. Un libro da consigliare allo studente
e agli insegnanti di italiano e di matematica nella speranza vana di una collaborazione, che solo un
miracolo può avverare. Come dice D'Amore: "dio! Fa che lavorino insieme ogni tanto!" Un libro per le
persone curiose, per chi si illude di aver capito la Commedia senza sapere nulla di matematica e
naturalmente per chi conosce la matematica, ma ha leggiucchiato la Commedia, senza profitto, soltanto
sui banchi di scuola. E Dante è sicuramente un'ottima guida, anche per l'alta considerazione in cui teneva
la matematica che nel Convivio paragona al Sole: "Ché del suo lume tutte s'illuminano le scienze, però che
li lor subietti sono tutti sotto alcun numero considerati - scrive Dante, con una affermazione di grande
attualità nel nostro mondo digitale - e nelle considerazioni di quelli sempre con numero si procede".
Federico Peiretti
Bruno D'Amore, Più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla, Pitagora Editrice, 2001
Parlerò ora di un altro passo dantesco, nel quale io presumo di scorgere un'allusione alle
radici stesse della matematica.
Non si è forse incontrato per la prima volta con la matematica ognuno di noi, quando da
bambino ha imparato a contare? I numeri 1, 2, 3 ci sono tanto familiari, perché per mezzo
loro siamo m grado di indicare quanti sono gli oggetti di un insieme qualsiasi: quello degli
uccelli posati su un albero, o quello delle monete che ho nel borsellino, o quello delle
molecole che contiene un grammo d'acqua, e via dicendo. Ma ciò che fa di essi un primo
mattone per la costruzione di edifici, cioè intendo dire, di teorie matematiche aventi di volta
in volta sempre maggiore complessità , è la nostra capacità di pensarli astrattamente e come
costituenti un tutto, cioè come elementi di un insieme, che non e finito, perché non esiste un
numero più grande di tutti gli altri.
Questo, che ugualmente viene detto «insieme dei numeri naturali», dovrà anch'esso
potersi introdurre mediante una definizione assiomatica, nel senso detto poco fa. E solo alla
fine del secolo scorso, tale definizione è stata precisamente formulata da Giuseppe Peano.
Non sto qui a ricordarla per disteso, ma dirò soltanto che essa si basa sull'idea del passaggio
da n a n+1, come dicono i matematici, cioè da un qualsiasi numero al suo successivo.
Ora Dante non poteva certo dire n e n+1; l'abitudine, che oggi ci è familiare, di adoperare
delle lettere, per indicare ora un numero, ora un altro, che a ciascuna di esse si possa
sostituire, è divenuta di uso comune solo molto più tardi, perfino i nostri famosi algebristi
del '500, per esempio, non l'avevano ancora adottata.
Il poeta, allora per esprimere quello che oggi diremmo n e n+1, nomina il primo numero
che gli viene in mente e il suo successivo. E' cosi che va interpretato, secondo me, «il cinque
e il sei», che troviamo nella terzina del Paradiso a cui sto pensando in questo momento.
Eccola. Sono parole che Cacciaguida rivolge a Dante (Par. XV, 35-37):
«Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch'è primo, così come raia
dall'un, se si conosce, il cinque e il sei».
Questo generarsi dell'insieme di tutti i numeri naturali mediante il solo 1 viene
ravvicinato da Dante alla conoscenza che un beato, come Cacciaguida, può formarsi di tutti i
pensieri altrui mediante «quel ch'è primo», cioè il pensiero divino.
Vediamo così espresso qui con un'allusione alla matematica un motivo che ricorre spesso
nel Paradiso il pensiero divino come (Par. XXVI, 106-108)
«... speglio,
che fa di se, pareglio all'altre cose
e nulla face lui, di se, pareglio»,
nel quale la mente dei beati può mettersi in contatto con la mente degli altri. Così, per
esempio, a Carlo Martello dice il poeta (Par. VIII 85-90):
«Pero ch'io credo che l'alta letizia,
che'l tuo parlar m'infonde, signor mio,
la've ogni ben si termina e s'inizia
per te si veggia come la vegg'io,
grata m'e più, ed anco questo ho caro,
perché ‘l discerni rimirando in Dio»,
e a Folchetto di Marsiglia (Par. IX, 73-74):
«Dio vede tutto, e tuo veder s'inluia,
beato spirito »,
dove, fra parentesi, possiamo ammirare il preziosismo del verbo inluiarsi, cioè
immedesimarsi in lui, che non si scompagna dagli altri consimili, ciascuno usato una sola
volta in tutto il poema, immiarsì, intuarsi (ibidem, 81), inleiarsi (Par. XXII, 127), cioè
immedesimarsi in me, in te, in lei, indovarsi (Par. XXXIII, 138), cioè collocarsi, intrearsi
(Par. XIII. 57), cioè entrare come terzo, insemprarsi (Par, X, 148), cioè eternarsi.
* * *
Ma torniamo ancora una volta alla matematica. Ho detto che l'insieme dei numeri
naturali costituisce un primo mattone per la costruzione di ogni teoria matematica. E ho
detto anche che esso non è un insieme finito: «i numeri non finiscono mai», è una scoperta
che, a un certo momento, fa ogni bambino.
È questa l'intuizione dell'infinito matematico, che non va confuso con l'infinito
leopardiano, cioè con quella immensità , davanti alla quale l'emozione poetica suscita un
senso di vago sgomento o di smarrimento soave.
E non va confuso neppure con quell'infinito, sul quale possono disputare astronomi e
cosmologi, legato all'idea della natura fisica del nostro universo.
L'infinito della matematica, a prescindere dall'uso che di questa parola fanno i
matematici anche in tutt'altro senso, nel parlare di «tendenza a un limite», è qui inteso da me
come «numerosità infinita di un insieme», cioè impossibilità , per certi insiemi, di contare
quanti sono gli oggetti che li formano.
Il primo, che s'incontra, di questi insiemi è quello dei numeri naturali. Esso serve da
punto di partenza per ottenerne poi tanti altri, come, citando a caso fra quelli più familiari a
chi studia matematica, gl'insiemi dei numeri razionali, reali, complessi, gli spazi lineari,
metrici, topologici e cosi via: e notiamo al passaggio come, a conferma della ricordata
definizione di Poincaré, i matematici adoperino sempre una stessa parola, per esempio
«numero» o «spazio», per indicare tante cose diverse una dall'altra, da definirsi di volta in
volta.
Questa idea di infinito è l'essenza di cui è impregnata tutta la matematica, la quale da
essa attinge quel carattere che la distingue dalle scienze della natura. Quello che si osserva
in natura ha sempre l'impronta del finito. Non deve ingannare il fatto che non sappiamo
contare le stelle in cielo e i granelli di sabbia in riva al mare. Il numero di osservazioni che
possiamo registrare, anche se i moderni elaboratori lo hanno fantasticamente amplificato, è
sempre finito, il numero delle volte che possiamo ripetere un esperimento, per provare una
legge della fisica è sempre finito, la quantità delle cifre decimali nel numero, che otteniamo
misurando, per esempio, una lunghezza, è sempre finita.
