Bollettino Degli Utilizzatori Di Software Matematici
Bollettino degli utilizzatori di software matematici
S
B
P
A
R
B
A
P
°
32
N
I.R.R.E.
Emilia-Romagna
1
luglio 2002
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Indirizzo
Bollettino CABRIRRSAE 2002
IRRE-Emilia Romagna
Via Ugo Bassi, 7 - 40121 Bologna
Tel. (051)22.76.69 - Fax (051)26.92.21
E-mail: cabri@kidslink.scuole.bo.it
Bollettino degli utilizzatori di software matematici
http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/
Gruppo di discussione:
S
E-mail: cabrinews@kidslink.scuole.bo.it
Fardiconto:
http://kidslink.scuole.bo.it/fardiconto/
B
Flatlandia:
http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/flatlandia/
P
A
R
La versione elettronica del bollettino è consultabile a
questo indirizzo:
http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/rivista.html
B
A
P
COMITATO SCIENTIFICO
°
32
N
Giuseppe Accascina
I.R.R.E.
Emilia-Romagna
1
giugno 2002
(Università “La Sapienza” Roma)
Giulio Cesare Barozzi
L’
(Università di Bologna)
IMMAGINE
Mario Barra
(Università La Sapienza - Roma)
Elica Cilindrica.
Paolo Boieri
Il triangolo rettangolo PRS ha il cateto PR uguale alla
(Politecnico di Torino)
circonferenza di base del cilindro e il cateto RS uguale
all’altezza del cilindro.
Colette Laborde
Avvolgendo PRS sul cilindro, l’ipotenusa PS si dispone
(IMAG Grenoble)
secondo un’elica cilindrica destrorsa. L’elica è anche
Gianni Zanarini
una curva geodetica sul cilindro, ovvero il tragitto più
(Università di Bologna)
breve che congiunge due punti.
L’idea per la figura proviene da un problema contenuto
COMITATO DI REDAZIONE
nel rapporto Villani-Bodin: http://www.emis.de/pro-
jects/Ref/
Anna Maria Arpinati, Giuliana Bettini,
Figura realizzata con Cabri da L. Tomasi
Sebastiano Cappuccio, Michele Impedovo,
Giovanni Margiotta, Maria Grazia Masi,
IN QUESTO
Valerio Mezzogori, Franca Noè, Daniele
Tasso, Renato Verdiani
NUMERO
Supplemento al n.2, Marzo-Aprile 2002, di INNOVAZIO-
NE EDUCATIVA bollettino bimestrale dell’Istituto Regionale
Nella sezione Cabri discusso abbiamo il resoconto su
di Ricerca Educativi dell’Emilia-Romagna. Registrazione
una attività interdisciplinare, in un biennio di scuola
Trib. Bo n. 4845 del 24 - 10 - 1980. Direttore resp.
Luciano Lelli, Direttore edit. Arnaldo Luisi proprietà
secondaria di secondo grado, che ha coinvolto gli inse-
IRRE/ER.
gnanti di matematica, inglese e tecnologia.
Il materiale pubblicato da
Relesed
CABRIRRSAE
Nella sezione Come fare presentiamo due lavori rivolti
Information
può essere riprodotto, citando la fonte
entrambi a studenti del triennio di scuola superiore. Nel
Progettazione grafica e videoimpaginazione GRAPHICART
primo si sfruttano la dinamicità e le opzioni offerte dal
Via Fondazza, 37 - 40125 Bologna
segue a pag. 3
Tel. Seg. Fax 051 30.70.73 - Tel. Seg. Modem 051 42.920.47
2
Bollettino
CABRIRRSAE 2002
VAZIONE: UN CONFRONTO EUROPEO”BERGAMO
SOMMARIO
17 - 18 - 19 OTTOBRE 2002
Palazzo della Ragione • Centro di Formazione della •
Banca Popolare di Bergamo-Credito Varesino • Aula
Cabri discusso
Magna dell’UniversitàIl Congresso sarà strutturato in
• Un’esperienza interdisciplinare
conferenze mattutine e in comunicazioni pomeridiane.
Come fare
Per quanto riguarda l’aggiornamento del programma e
• Analisi vettoriale del moto di una pallina in aria
dei relatori,
le modalità d’iscrizione e di
con Cabri II
partecipazione,le relative informazioni si troveranno sul
• Bellaria 2000 - Problema n° 10
sito
Relazione sull’attività svolta in classe
http://utenti.lycos.it/mathesisbergamo
Da Cabrinews
• Cabri in biblioteca
E’ previsto l’esonero ministeriale per il personale ispet-
La recensione del mese
tivo, direttivo e docente delle scuole di ogni ordine e
• Notizie dalla Rete
grado che parteciperà al Congresso.
segue da pag. 2
software Cabri II, per realizzare una analisi qualitativa e
quantitativa del moto di una pallina in aria; nel secondo
INVIATECI I
viene presentata la risoluzone di un problema di geome-
tria euclidea in cui si utilizza il software Cabri per inda-
VOSTRI ARTICOLI
gare ed illustrare le verie fasi del lavoro.
Chiude il bollettino una rassegna di letture per ragazzi,
ricavata da uno scambio di informazioni avvenuto sulla
lista di discussione Cabrinews.
C ABRIRRSAE pubblica contributi relativi
all’utilizzo del pacchetto Cabri-géomètre e di
altri software matematici, con particolare attenzio-
Troviamo ancora notizie dalla rete nella Recensione del
ne alla valenza didattica e all’inserimento nel cur-
mese in copertina.
ricolo scolastico.
Ogni articolo (non più di 4 cartelle) deve perveni-
re, su supporto magnetico e cartaceo, ad uno degli
CORSI E SEMINARI
indirizzi indicati in copertina, rispettando le
seguenti modalità:
• SUPPORTO CARTACEO
Nell’anno scolastico 2001 - 2002 l’Università di
- testo e figure devono essere impaginate secondo
Bologna ha avuto il piacere di ospitare il prof. Douglas
le intenzioni dell’autore (anche in bassa qualità di
Hofstadter, responsabile del Center for Research on
stampa)
Concepts and Cognition dell’Indiana University di
- una stampata delle sole figure in alta qualità di
Bloomington, USA.
stampa
Il prof. Hofstadter ha dedicato alcuni Seminari anche al
- una stampata dei grafici in alta qualità di stampa
- anche le immagini catturate dallo schermo devo-
mondo dei matematici e fisici:
no essere accompagnate da una stampata in alta
•
17 maggio 2002, Dipartimento di Fisica
qualità
The pervasive power of analogies in the progress of phisics
•
27 maggio 2002, Dipartimento di Matematica
• SUPPORTO MAGNETICO
Rapporti tra i centri dei triangoli
- il file di testo in formato Word (estensione .doc,
meglio sarebbe se fosse .mcw) non deve contenere
•
31 maggio 2002, Dipartimento di Matematica
le figure che invece devono essere collocate in un
Simmetrie fra i centri ed i coniùgi
file a parte.
•
4 giugno, Dipartimento di Matematica
- altri materiali (tabelle, grafici, ecc.) devono per-
Una famiglia di geometrie: variazioni sul tema della
venire in formato originale, con indicazione del-
Geometria Euclidea
l’applicativo che le ha generate, comunque sempre
accompagnate da una stampata di alta qualità.
•
6 giugno, Dipartimento di Matematica
- altre immagini (tipo quelle tridimensionali) gene-
Immagini di gruppi: teoria dei gruppi visiva
rate da qualunque programma, devono essere
•
11 giugno, Dipartimento di Matematica
esportate come prodotti vettoriali, cioè con esten-
Funzioni ricorsive caotiche
sione A.I.
•
13 giugno, Dipartimento di Matematica
Il materiale inviato non sarà restituito.
Il teorema di van der Waerden: la battaglia fra chia-
Siamo ugualmente interessati a ricevere materiali
rezza e oscurità in Matematica
più articolati sull’utilizzo di Cabri; tali materiali
CONGRESSO NAZIONALE MATHESIS 2002
possono essere diffusi mediante la collana
“LA MATEMATICA FRA TRADIZIONE E INNO-
“Quaderni di CABRIRRSAE ”.
3
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
ra del cerchio) e sul significato di costruzione con riga e
compasso. A questo proposito, per favorire la compren-
CABRI DISCUSSO
sione, gli studenti, a gruppi, hanno scelto alcune costru-
zioni create durante l’anno con Cabri e spiegato perché
erano state costruite solo con l’uso di riga e compasso.
A questo punto ho proposto di ricercare nel Web mate-
riale in lingua inglese relativo alla trisezione dell’ango-
Un’esperienza
lo.
interdisciplinare
Gli studenti hanno navigato in Internet e trovato infor-
1
La trisezione dell’angolo
mazioni di vario genere.
Con l’insegnante di inglese (prof. A. Rodighiero) ho
di Stefania Ferrari
visionato il materiale e abbiamo scelto da
I T I S “Fermi”, Mantova
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history-
/HistTopics/Trisecting_an_angle.html
tre brani da proporre alla classe.
2. Trisezione di un angolo con riga
D a sempre ho subito il fascino del tema “i famosi
problemi dell’antichità greca” e ho quindi deciso
e compasso
di affrontare una parte dell’argomento con i miei studen-
Il primo brano in lingua inglese era relativo ad una breve
ti di seconda ITIS, cercando di coinvolgere anche alcuni
introduzione storica e al fatto che il problema della trise-
colleghi.
zione dell’angolo può, per alcuni angoli, essere risolto
E’ nata in questo modo un’interessante attività interdi-
con riga e compasso.
sciplinare con le materie inglese, matematica e tecnolo-
Con l’insegnante di inglese sono state svolte attività di
gia, che si è svolta nel secondo quadrimestre e che ha
comprensione del testo e attività linguistico-lessicali
perseguito i seguenti obiettivi:
proprie della disciplina.
In matematica è stato proposto di ricercare un metodo
conoscere il significato di costruzione geometrica ese-
per trisecare l’angolo retto basato sulla semplice osser-
guita con riga e compasso;
vazione che la terza parte di una angolo retto è un ango-
conoscere alcuni metodi per trisecare l’angolo e saperli
lo di 30° e che questo si ottiene come differenza fra un
dimostrare;
angolo retto e un angolo di 60° (angolo interno di un
conoscere un semplice lessico matematico in lingua
triangolo equilatero). Il metodo è stato subito intuito
inglese;
dagli studenti e il risultato è riportato in figura,
^
^
comprendere un semplice testo di matematica in lingua
CAD = 1/3 CAB .
inglese;
realizzare con Cabri II una costruzione in modo autonomo;
analizzare i limiti delle costruzioni geometriche realiz-
zate;
conoscere l’uso di strumenti meccanici per risolvere
C
D
problemi matematici;
costruire una semplice macchina matematica in legno;
sapere svolgere una ricerca mirata su Internet;
realizzare un semplice ipertesto in modo guidato;
lavorare in gruppo su obiettivi diversi per raggiungere
un prodotto finale comune.
A
B
L’attività didattica ha seguito le seguenti fasi.
1. Introduzione al problema
La prima lezione ha avuto come oggetto una breve intro-
duzione storica, durante la quale ho raccontato agli stu-
denti alcune notizie sul periodo classico e sul periodo
alessandrino della storia della matematica greca, focaliz-
zando l’attenzione sui matematici che già conoscevano
Come si vede, nella costruzione non vengono riportare
(Pitagora, Euclide, Talete, ...).
lunghezze e quindi sono rispettate le regole della geo-
L’attenzione si è poi trasferita sui “famosi problemi”
metria classica.
(duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo, quadratu-
Da questo esempio segue immediatamente la trisezione
4
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
dell’angolo di 45°, che si ottiene dalla bisezione dell’an-
golo di 30°.
Successivamente, nelle fasi 2 e 3 sono stati presentati
due metodi per risolvere il problema senza le restrizioni
delle costruzioni con riga e compasso.
B
I metodi di Archimede e di Nicomede (entrambi del
periodo alessandrino, quindi meno legati alle costruzioni
con riga e compasso) sono stati considerati delle conget-
C
ture da validare seguendo questa procedura:
- costruzione del disegno con carta e matita;
D
A
- costruzione del disegno con Cabri II;
O
- riorganizzazione del processo eseguito in forma coerente;
- manipolazione della figura e ricerca degli eventuali limiti;
- esplicitazione di ipotesi e tesi e dimostrazione rigorosa
(solo dopo avere verificato la validità del metodo).
3. Il metodo di Archimede
Il metodo segue il seguente procedimento: assegnato un
angolo AOB, tracciare la circonferenza di centro O e
raggio r; prolungare AO nella direzione che va da A
spostando la semiretta OB in modo da deformare l’an-
verso O e tracciare la retta passante per B in modo che
golo AOB, il segmento CD non si manteneva uguale al
CD=r, dove C è un punto della circonferenza e D si
raggio, ma era necessario spostare anche il punto D.
trova sul prolungamento di AO.
Questa osservazione è risultata preziosa nel momento
Si ottiene che
della costruzione della macchina matematica.
^
^
ADB = 1/3 AOB
Eseguendo poi la deformazione dell’angolo AOB e il
Gli studenti hanno eseguito la costruzione con carta e
conseguente aggiustamento della posizione del punto D,
matita, usando il testo in lingua inglese.
si è osservato che il metodo è valido per tutti gli angoli
La difficoltà principale è stata quella di determinare la
minori dell’angolo piatto.
giusta inclinazione della retta CD. La via corretta veniva
Convinti della validità del metodo, gli studenti hanno
suggerita dal testo proposto: usare la riga per riportare
scritto ipotesi e tesi e fatto la dimostrazione (che fa uso
una lunghezza (operazione non consentita nelle costru-
del teorema dell’angolo esterno applicato ai triangoli
zioni con riga e compasso). Gli studenti hanno quindi
isosceli DCO e COB).
riportato il raggio r sulla riga e determinato la giusta
inclinazione, facendola scorrere in modo che un estremo
4. Il metodo di Nicomede
del raggio fosse sulla retta OA e l’altro sulla circonfe-
Il metodo si basa sul seguente procedimento: dato un
renza facendo in modo che la retta CD passasse per B.
angolo acuto AOB tracciare il segmento BC perpendico-
In laboratorio con Cabri è emersa questa costruzione:
lare alla semiretta OA, tracciare la semiretta BD paralle-
- tracciare la retta OA;
la a OA; prendere su BD un punto Q in modo che il seg-
- tracciare la circonferenza di centro O e raggio OA;
mento OQ intersechi CB nel punto P tale che PQ=2OB.
- tracciare una semiretta uscente da O e indicare con B
Allora
^
^
l’intersezione della semiretta con la circonferenza;
AO Q = 1/3AO B
- segnare e misurare il raggio OA;
Per eseguire la costruzione con carta e matita, è stato
- segnare e misurare l’angolo AOB;
necessario riportare il doppio del segmento OB sulla riga
- tracciare una retta r passante per B;
e determinare la giusta inclinazione della semiretta OQ.
- segnare il punto D intersezione di r con la retta OA
In laboratorio con Cabri è emersa questa costruzione:
(esterno alla circonferenza e da parte opposta di A
- tracciare le semirette OA e OB;
rispetto ad O);
- segnare i punti A e B;
- segnare il punto C intersezione di r con la circonferenza;
- segnare e misurare l’angolo AOB;
- segnare e misurare il segmento CD;
- tracciare la retta per B perpendicolare a OA e indicare
spostare il punto D fino a quando CD misura quanto
con C l’intersezione;
2
il raggio;
- tracciare la retta per B parallela a OA;
segnare e misurare l’angolo ADB.
- misurare il segmento OB;
- tracciare la semiretta OQ e segnare la sua intersezione
Le misure degli angoli ADB e AOB hanno validato la
P con BC;
costruzione, ma al momento di sfruttare la dinamicità di
- misurare il segmento PQ;
Cabri gli studenti si sono accorti di una particolarità:
- spostare Q fino a quando PQ=2OB;
5
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
- segnare e misurare l’angolo QOA.
rare il problema emerso nella costruzione con Cabri. La
macchina è stata realizzata in legno e l’attività ha richie-
sto circa 10 ore.
Le informazioni per la costruzione sono state tratte dal
bellissimo sito http://www.museo.unimo.it/theatrum
del Museo di Modena, dedicato alle macchine matema-
tiche (la foto è tratta dal sito del Museo).
B
Q
6. L’ipertesto
Un aspetto positivo dell’attività è che tutti gli studenti
della classe hanno lavorato e che è sicuramente servita
da stimolo la prospettiva di realizzare un ipertesto da
P
pubblicare sul giornalino elettronico della scuola
(www.itis.mn.it). Durante questa attività i gruppi hanno
O
C
A
lavorato ciascuno su un aspetto diverso, curando la ste-
sura di una pagina dell’ipertesto e l’insegnante ha assun-
to il ruolo di coordinatore dei lavori, fondamentale
durante la progettazione e la sintesi finale.
E’ stato usato il software Front Page, sfruttando solo i
comandi più elementari.
Anche questa costruzione è stata testata modificando
l’ampiezza dell’angolo AOB e anche in questo caso si è
7. Verifica
visto che era necessario ogni volta modificare anche la
E’ stata svolta una breve prova di verifica, durante la
posizione di Q per mantenere PQ=2OB. Con questo
quale agli studenti è stato sottoposto un teorema in lin-
metodo è possibile trisecare angoli minori dell’angolo
gua inglese relativo alla circonferenza, del quale doveva-
retto.
no fare la costruzione della figura con Cabri e la dimo-
Gli studenti hanno quindi scritto la dimostrazione, che
strazione in lingua italiana.
risulta facilitata tracciando il segmento che congiunge B
con il punto medio di PQ. Essa fa uso del teorema del-
8. Conclusioni
l’angolo esterno applicato al triangolo isoscele e dei cri-
Ritengo che la metodologia usata (interdisciplinarità,
teri di parallelismo.
lavoro di gruppo, validazione di una congettura, uso del
mezzo informatico,...) possa essere riutilizzata per
5. Il trisettore di Pascal
affrontare anche altri argomenti, da sviluppare magari
Infine, l’insegnante di tecnologia (prof. P. Vincenzi) si è
nell’ambito del 15% del monte ore messo a disposizione
reso disponibile per la costruzione della macchina detta
dall’autonomia.
1 L’argomento è già stato trattato nelle pubblicazioni di
CABRIRRSAE. Si vedano in proposito il quaderno n. 8
e i bollettini n. 16 e n. 21 [NdR].
2 Questa operazione, come nella successiva costruzione,
“Trisettore di Pascal”, che utilizza il metodo di Archi-
evidenzia la impossibilità di trisecare un angolo con riga
mede e che sfrutta lo scorrimento di due punti, per supe-
e compasso[NdR].
6
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
tate ad intervalli di tempo regolari) rimane invariata. Al
foglio di carta millimetrata, poi, si sostituisce il foglio
COME FARE
del software Cabri II sul quale sarà realizzato l’esame
qualitativo e quantitativo. Le posizioni della pallina rile-
vate appaiono inserite in un piano cartesiano a cui si
assegna un’unità di misura. In questo caso è il software
che si incarica di disegnare i vettori e di operare con
essi, gli studenti si potranno dedicare alle osservazioni
qualitative, all’elaborazione dei dati e all’elaborazione
di un modello che renda conto dei dati sperimentali
anche avvalendosi dell’aiuto di un foglio elettronico.
In tabella 1 è riportato un possibile percorso didattico,
diviso in cinque fasi, al quale faremo riferimento nel-
L’articolo che segue è un contributo presenta-
l’ambito di questo contributo. In particolare concentre-
to al Convegno ADT di Cattolica (RN), Ot-
remo l’attenzione sulle fasi 3, 4, 5 e daremo solo una
tobre 2001. Comparirà negli Atti del
breve descrizione della fase introduttiva (fase 1).
Convegno che saranno pubblicati su CD-Rom
entro l’estate 2002.
Analisi vettoriale del moto di una pallina
in aria (fase 1)
Agli studenti è fornita una fotografia del moto di una
1
pallina realizzata col metodo multiflash ; seguendo le
Analisi vettoriale del
indicazioni di una scheda, essi devono analizzare di che
moto di una pallina in
tipo di moto si tratta e quali sono le forze agenti sulla
aria con Cabri II
pallina.
di Giuliana Bettini
Istituti “Aldini Valeriani”, Bologna
e Barbara Pecori
Dipartimento di Fisica, Università di Bologna
Introduzione
I l software Cabri II, grazie alla sua dinamicità e alle
opzioni offerte dalla nuova versione (vettori, tra-
sporto di misura), permette di realizzare l’analisi di una
foto del moto di una pallina in aria, realizzata con il
metodo multiflash.
L’analisi del moto è solitamente realizzata “a mano”,
con carta e matita, e i risultati ottenuti, pur interessanti
da un punto di vista qualitativo, non permettono un’ana-
lisi dettagliata delle caratteristiche della forza di attrito
dovuta alla presenza dell’aria. L’esame della fotografia
consiste, infatti, nel tracciare i vettori che rappresentano
lo spostamento, la velocità e l’accelerazione della palli-
fotografia del moto di un proiettile eseguita con
na in volo: queste operazioni introducono successive
il metodo multiflash, scala 1:10
approssimazioni che consentono di analizzare solo gli
Scheda
aspetti qualitativi delle forze agenti su di essa e rendono
Forze agenti su una pallina in volo
improponibile un’analisi quantitativa dei dati sperimen-
La figura mostra la fotografia del moto di una pallina
tali raccolti.
eseguita col metodo multiflash. La pallina è stata lancia-
Con l’aiuto di Cabri II, dell’opzione vettore in particola-
ta in aria sotto un angolo di 27° rispetto alla direzione
re, è possibile fare anche un’analisi quantitativa della
orizzontale. L’intervallo di tempo fra due successive
relazione esistente fra accelerazione e velocità e control-
esposizioni era di 1/30 di secondo e la pallina si muove-
lare la validità di un modello introdotto per schematizza-
va da sinistra a destra nella figura.
re la dipendenza della forza di attrito dalla velocità.
1
La fase iniziale di raccolta dei dati (assegnazione di
Fotografia e successiva scheda tratte da Fisica a cura
coordinate ai punti che rappresentano le immagini scat-
del PSSC-Guida al laboratorio edizione Zanichelli
7
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Esaminate la fotografia (potete aiutarvi usando un foglio
Tracciamo gli assi cartesiani ortogonali aventi origine in
di carta millimetrata e un foglio di carta trasparente) e
O (0,0) e ricaviamo le coordinate degli altri “fori”.
rispondete alle seguenti domande giustificando le vostre
Prendiamo in considerazione un punto ogni 2 per ana-
risposte.
lizzare intervalli di tempo di 1/15 di secondo.
I dati ottenuti sono riportati in tabella 2.
1) La componente orizzontale della velocità della pal-
lina è costante? Che cosa potete concludere sulla
Tab. 2 - Coordinate delle posizioni successive
3
forza risultante che agisce sulla pallina?
della pallina ogni 1/15 s.
Prendete in considerazione un punto ogni 2 per analiz-
zare il moto in intervalli di tempo di 1/15 di secondo,
x(cm) y(cm)
questa scelta non pregiudica i risultati dell’esperienza;
P0
0,00
0,00
limitate, inoltre, lo studio della fotografia ai primi quat-
P1
2,45
1,15
2
tro punti. Fissate un foglio di carta trasparente sulla
P2
4,45
1,70
fotografia, segnate il centro di ogni immagine e con-
P3
6,20
1,65
giungete ordinatamente tra loro un punto ogni due con
P4
7,70
1,20
tratti rettilinei. I segmenti rappresentano lo spostamento
P5
8,95
0,40
della pallina ogni quindicesimo di secondo e perciò for-
P6
10,10
-0,75
niscono una misura della velocità media durante questi
P7
11,05
-2,15
intervalli di tempo uguali fra loro.
P8
11,80
-3,80
2) La variazione di velocità (e quindi l’accelerazione)
P9
12,45
-5,55
della pallina ha la stessa direzione in ogni intervallo
P10
12,90
-7,45
considerato? I moduli di tali variazioni sono uguali
P11
13,30
-9,45
fra loro? Quale sarà la direzione della risultante
delle forze agenti sulla pallina?
Riportiamo ora i dati ottenuti sul foglio del software
3) La forza di gravità produce, ogni quindicesimo di
Cabri II e procediamo all’analisi vettoriale.
secondo, una variazione nella velocità. Quale? In che
direzione e in che verso?
Riproduzione della fotografia con Cabri II
Riportate il vettore variazione di velocità dovuto a g, in
Per realizzare correttamente il file in Cabri II è necessa-
scala, sulla fotografia e sottraetelo a ciascun vettore
rio usare alcuni accorgimenti sfruttando il dinamismo
variazione di velocità totale, ottenendo così un vettore
del software. Occorre, infatti, riportare sul foglio Cabri
che rappresenta la variazione residua di velocità.
le coordinate dei punti che sono state rilevate dalla foto-
4) I vettori variazione residua di velocità hanno tutti
grafia (con la precisione stimata) e costruire un sistema
lo stesso modulo? Quale direzione e quale verso
di assi cartesiani ortogonali avente una unità che ci per-
hanno? Quali ipotesi potete fare sulla natura delle
metta di sfruttare l’opzione distanza e lunghezza di
forze agenti sulla pallina?
Cabri per misurare i moduli dei vettori rappresentati.
seguire tabella 1 a Pag. 9
Analisi vettoriale della foto stroboscopica
p2
p3
con Cabri II (fase 3)
1,70 1,65
p1
p4
1,20
Rilevazione dei dati
1,15
p5
0,40
10,10
11,80 12,90 14
Sovrapponiamo la fotografia alla carta millimetrata,
0
1
2,45
4,45
6,20
7,70
8,95
11,05
12,45 13,30
0,75
avendo cura di far coincidere il lato sinistro della foto-
p6
p7
grafia con una delle rette verticali e il primo punto a
2,15
1 cm scala 1:10
sinistra con un punto di intersezione delle rette della
u.m. spostamento
p8
carta millimetrata. Con l’aiuto di uno spillo facciamo un
3,80
foro in corrispondenza del centro di ogni immagine. Il
p9
primo punto a sinistra (P
5,55
0) sarà l’origine del sistema di
assi attraverso il quale studieremo la fotografia.
p10
7,45
9,45
2
p11
Fig. 1
In un primo tempo si era considerato un punto ogni tre,
intervalli di 1/10 di secondo, come suggerito dagli autori;
questa scelta, da un lato facilita i calcoli, dall’altro può
3
creare confusione fra la semplice conversione in scala e
L’incertezza di ±0,05 cm ci è parsa adeguata dato il
il calcolo dei moduli dei vettori velocità e accelerazione.
metodo di registrazione dei dati.
8
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Tab. 1 - Fasi del percorso didattico sull’analisi del moto della pallina in volo
1) Raccolta dei dati
Gli studenti lavorano autonomamente sulla base della scheda proposta.
da parte degli stu-
Materiali
Scheda: Forze agenti su una pallina in volo
denti
Foto stroboscopica
Obiettivi
Gli studenti prendono coscienza della situazione problematica e fami-
liarizzano con le caratteristiche dell’analisi dei dati sperimentali.
Ruolo
L’insegnante può osservare l’attività didattica e il modo di affrontarla
dell’insegnante
dello studente.
Vantaggi
Gli studenti possono confrontarsi fra loro liberamente esprimendo una
valutazione personale della soluzione. Il problema proposto è preso in
carico da ciascuno.
2) Intervento
Intervento dell’insegnante per rivedere le osservazioni e dare nuove chiavi di lettura
dell’insegnante
Obiettivi
Risistemazione delle idee nate nella fase (1) e avvio di una nuova fase
di ristrutturazione.
Ruolo
L’insegnante trae utili informazioni sulle metodologie degli alunni e
dell’insegnante
sulle loro idee spontanee.
Vantaggi
Si sfruttano le potenzialità di un lavoro di gruppo, si costruiscono
nuove conoscenze a partire da idee esistenti e si prepara il terreno per
l’analisi successiva.
3) Utilizzo del
Si utilizza il file che riproduce le posizioni della pallina fotografata, che può essere
software Cabri II
preparato dall’insegnante, per approfondire le osservazioni fatte fino a questo punto.
per completare
Materiali
file: foto stroboscopica
l’analisi
analisi vettoriale di una foto stroboscopica con Cabri II
Obiettivi
Rilettura dei risultati ottenuti dall’analisi della fotografia nelle fasi (1) e
(2) e discussione in classe alla luce dell’analisi di tutti i dati
sperimentali.
Vantaggi
Il software permette di concentrarsi sull’analisi dei dati senza perdere
tempo sulla riproduzione di vettori.
Anche i meno abili con il disegno potranno svolgere l’attività senza
difficoltà.
4) Utilizzo del
La seconda parte dell’esperimento prevede un’analisi della dipendenza della forza
software Cabri II
individuata dalla velocità. A partire dai dati iniziali, sempre utilizzando Cabri, si rico-
per controllare la
struisce la traiettoria del moto sulla base di una ipotesi di dipendenza della forza di
validità di un
modello
attrito dal quadrato della velocità.
Dal confronto della traiettoria ottenuta con quella reale si procede ad un aggiusta-
mento del modello affinché renda effettivamente conto dei dati sperimentali.
5) Conclusioni
Alla luce dei dati raccolti si ridiscute il problema che l’insegnante inquadrerà all’in-
terno della teoria generale. Occorre tenere conto ed evidenziare in questa fase
anche i limiti delle conclusioni raggiunte.
9
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
In figura 1 sono riportate le posizioni successive della
ha la stessa direzione in ogni intervallo? I moduli di
pallina (O, P1, …., P11) sul piano cartesiano e i vettori
tali vettori sono uguali fra loro? Quale sarà la dire-
spostamento. Le misure delle distanza sono in scala
zione della risultante delle forze agenti sulla pallina?
1:10 rispetto alla realtà, come nella fotografia.
In figura 3 sono rappresentati i vettori variazione di
Gli studenti devono rispondere a domande analoghe a
velocità (e quindi anche, a meno di un fattore di scala, i
quelle riportate sulla scheda della fase di elaborazione
vettori accelerazione) che danno informazioni sulla
manuale dei dati. In questo caso però è richiesto di
direzione e sul verso della forza totale applicata alla
effettuare sul foglio Cabri II l’analisi di tutti i punti spe-
pallina.
rimentali. Inoltre si è scelto di parlare direttamente di
Dalla analisi del grafico risulta chiaramente che i
vettori accelerazione, oltre che di variazioni di velocità;
moduli delle accelerazioni non sono uguali fra loro, ciò
pensiamo infatti che un vantaggio dell’elaborazione con
significa che la pallina non è sottoposta a una forza
Cabri sia quello di rendere più immediato il collega-
costante, ma ad una forza variabile che risulta dalla
mento accelerazione misurata-forza agente.
composizione della forza di gravità (Fg), diretta verti-
calmente, e della resistenza del mezzo (Fr). La (Fr)
Elaborazione dei dati (analisi qualitativa)
dipende dalla velocità: lo studio della dipendenza della
resistenza del mezzo dalla velocità sarà l’oggetto della
Gli studenti rispondono alle domande cercando confer-
sezione successiva Elaborazione dei dati (analisi quan-
ma di quanto ottenuto con la elaborazione manuale.
titativa).
1) La componente orizzontale della velocità della
pallina è costante?
p2
p3
2
p1
p4
In figura 2 sono rappresentati i vettori velocità, a meno
1
p5
di un fattore di scala. Ciascun vettore velocità è scom-
0
1
p6
posto nelle due componenti verticale e orizzontale.
10 cm scala 1:10
u.m. spostamento
p7
Le indicazioni per la costruzione dei vettori (per questa
figura e per le successive) possono essere richieste alla
150 cm/sec
p8
redazione del bollettino.
scala 1:150
u.m. velocità
p9
La componente orizzontale della velocità non è costante.
2250 cm/sec2
Le differenze fra i vettori spostamento hanno compo-
scala 1:2250
u.m. accelerazione
p10
nenti orizzontali evidentemente variabili.
Le velocità vi sono applicate nel punto medio fra Pi+1 e
P
p11
i , che è una buona approssimazione del punto della
traiettoria in cui la pallina ha velocità uguale alla velo-
Fig.3
cità media calcolata.
3) La forza di gravità produce, ogni quindicesimo di
y
p2
p3
secondo, una variazione nella velocità. Quale? In che
p1
p4
1
p5
direzione e in che verso?
0
1
p6
x
Riportando il vettore variazione di velocità dovuto a g,
in scala, sul foglio, si ottiene la costruzione di figura 4.
p7
p8
4) I vettori variazione residua di velocità hanno tutti
10 cm scala 1:10
lo stesso modulo? Quale direzione e quale verso
u.m. spostamento
p9
hanno?
150 cm/sec
scala 1:150
u.m. velocità
p10
L’utilizzo di Cabri II appare particolarmente utile in
questa fase: infatti la precisione ottenuta nella costru-
zione dei vettori variazione residua di velocità, più diffi-
p11
Fig. 2
cile da ottenere normalmente, consente di notare come
la accelerazione dovuta alla resistenza dell’aria abbia,
con buona approssimazione, la stessa direzione della
2) La variazione di velocità (e quindi l’accelerazione)
velocità in ogni punto e verso opposto.
10
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
2
p2
p3
2
p2
p3
p1
p4
p1
p4
1
1
p5
p5
0
0
1
g
p6
1
g
p6
10 cm scala 1:10
u.m. spostamento
10 cm scala 1:10
p7
p7
u.m. spostamento
150 cm/sec
150 cm/sec
scala 1:150
scala 1:150
p8
u.m. velocità
p8
u.m. velocità
2250 cm/sec
scala 1:2250
2250 cm/sec2
u.m. accelerazione
p9
scala 1:2250
p9
u.m. accelerazione
L’accelerazione di gravità sul grafico
L’accelerazione di gravità sul grafico
corrisponde ad un vettore di 0,44 unità
p10
corrisponde ad un vettore di 0,44 unità
p10
ottenuto considerando g=9,8 m/sec2
ottenuto considerando g =9,8 m/sec2
9,45
p11
9,45
p11
Fig. 4
Fig. 5
Elaborazione dei dati (analisi quantitativa)
foglio di Cabri II. In tabella 3 sono riportati i valori otte-
Gli studenti devono ora rilevare la misura dei vettori sul
nuti
Tab. 3 – Tabella dei valori dei moduli dei vettori spostamento, velocità, accelerazione totale e residua
Spostamento
Velocità
Accelerazione
Accelerazione
Si=Pi-Pi-1
Vi=Si/Dt
totale
residua
(m)
(m/sec)
Ai=Dvi/Dt
Ar (m/sec2)
(m/sec2)
0,271
4,065
16,875
10,800
0,207
3,105
14,625
6,750
0,175
2,625
10,575
5,625
0,157
2,355
9,675
5,850
0,148
2,220
8,100
2,925
0,163
2,445
7,200
6,075
0,169
2,535
7,200
6,075
0,181
2,715
3,150
7,875
0,187
2,805
5,625
7,875
0,195
2,925
2,475
7,650
0,204
3,060
I valori possono essere tabulati con lo strumento Tabella di Cabri II ed eventualmente esportati, su foglio elettronico, per
essere elaborati.
11
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Elaborazione di un modello che renda
dell’attrito (cioè del coefficiente K2).
conto dei dati sperimentali (fase 4)
Una pallina in volo nell’aria è soggetta a due forze: la
forza di gravità (Fg) costante, e la resistenza dell’aria
(Fr) che dipende invece in ogni punto dalla velocità. La
p2
p1
p3
p4
forza Fr è diretta come la velocità ed ha verso opposto.
p5
Si può assumere che la dipendenza di Fr dalla velocità
0
non sia lineare. In letteratura, infatti, la forza di resi-
1
p6
stenza del mezzo agente su una sfera in aria mostra due
p7
termini importanti; uno lineare e uno quadratico: Fr=
K = 4,9
2
2
-4
RC1V+ R C2V ,
con C1=3.1 10
Kg/(ms),
3
p8
C2=0.87Kg/m e R raggio della sfera.
Nel caso della pallina utilizzata (R= 0,75 cm) possiamo
p9
scrivere:
2
-6
-5
Fr= K1V+ K2V , con K1=2.33 10
Kg/s e K2=4.9 10
2
Kg/ m s .
Per le velocità coinvolte nel caso studiato, la tabella
p10
seguente mostra che è ragionevole, in prima approssi-
Fig. 6
mazione, considerare il solo termine quadratico: Fr =
2
K2V .
Il valore di K2 che abbiamo utilizzato non appare il
Tab. 4 – Confronto fra i termini lineare e quadratico
migliore nel nostro caso: questa difficoltà può diventare
un ottimo spunto didattico. La costruzione realizzata
2
velocità (m/sec)
K1v
K2v
con Cabri II ci permette, infatti, di modificare il coeffi-
ciente K2 e di far variare simultaneamente la traiettoria.
4,065
9,451E-06
8,087E-04
Agli studenti viene chiesto di ricavare il valore che
3,105
7,219E-06
4,718E-04
meglio riproduce i dati sperimentali: il valore ottenuto
2,625
6,103E-06
3,372E-04
con l’animazione sarà frutto della loro analisi e non
2,355
5,475E-06
2,714E-04
semplicemente copiato da un testo.
2,220
5,162E-06
2,412E-04
In figura 7 è riportata la costruzione ottenuta e il valore
2,445
5,685E-06
2,925E-04
ottimale di K2.
2,535
5,894E-06
3,145E-04
2,715
6,312E-06
3,607E-04
A questo punto è possibile continuare l’elaborazione
2,805
6,522E-06
3,850E-04
dei dati provando ad introdurre il termine lineare, oltre a
2,925
6,801E-06
4,187E-04
quello quadratico, e aggiustare entrambi per ottenere un
3,060
7,115E-06
4,582E-04
ulteriore miglioramento nell’adattamento della curva ai
dati. E’ opportuno, inoltre, informare gli studenti che la
Calcolando il primo valore dell’accelerazione dovuta
ricerca dei valori ottimali di K1 e K2 può essere effet-
alla resistenza dell’aria Fr1/m, dove m=0,05/g è la
tuata attraverso un metodo analitico (Minimi quadrati)
massa della pallina, si può costruire con Cabri II la
che permette di controllare la bontà dell’adattamento
traiettoria simulata del moto.
della curva ai dati sperimentali, senza procedere per
tentativi valutati “ad occhio”. Tale metodo risulta però
Dati iniziali:
certamente meno intuitivo e quindi meno efficace dal
-5
Massa pallina m=5 10 Kg;
punto di vista didattico.
-3
Raggio pallina R=7.5 10 m;
(vedi fig.7 alla pag. 13)
Coordinate del punto P1 (P1(2,45; 1,15));
Valore della velocità iniziale v1=4.07 m/s ricavata dal
Come conclusione del lavoro, anche allo scopo di veri-
grafico Cabri.
ficare la ricaduta sulla classe, può essere molto utile
2
-5
Calcoliamo ar1=Fr1/m = K2v1 /m (con K2=4.9 10
Kg/
chiedere agli studenti di ricostruire, avvalendosi anche
2
m s) che sommato al vettore g ci dà l’accelerazione
di Cabri II, la traiettoria della pallina in assenza d’attri-
totale e ci permette di calcolare un nuovo valore di
to. Sul foglio di Cabri II, le due traiettorie possono esse-
velocità con il quale ricavare il valore successivo di
re rappresentate contemporaneamente e dal loro con-
accelerazione.
fronto può nascere una interessante discussione con gli
La traiettoria ottenuta (vedi figura 6) differisce però da
alunni.
quella della fotografia e sembra indicare una sovrastima
(vedi fig.8 alla pag. 13)
12
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
p2
p3
p1
p4
p5
0
3
1
p6
p2
p1
p3
p7
p4
K = 3,6
0
1
p5
K = 3,6
p6
p8
p7
p9
p10
Fig. 7
Fig. 8
pilogativa nell’ambito della trattazione della geometria
piana. Sono infatti richieste conoscenze e competenze
Bellaria 2000
attinenti alle costruzioni geometriche classiche con riga
Problema n° 10
e compasso, ad alcuni luoghi geometrici notevoli, alla
teoria delle trasformazioni del piano e, per l’ultima
parte del lavoro (non specificamente richiesta dal testo),
di Francesca Del Vecchio
ai punti notevoli di un triangolo.
Liceo Scientifico “E. Majorana”, Latina
e Maurizio Testa
Traccia della procedura di risoluzione
ITIS “G. Galilei”, Latina
Il software utilizzato per la risoluzione è CABRI II.
Esegui la traccia di C
Premessa
al variare di A
Nel Settembre 2000 si è tenuto a Bellaria (RN) il
terzo seminario residenziale del progetto
“Eccellenza”, organizzato dall’IRRE Emilia
C
Romagna, in collaborazione con l’IRRE Lazio. Nel
corso di esso gruppi di insegnanti hanno presentato
A
r
e discusso soluzioni di vari problemi realizzate con
diversi software. Il problema che segue è uno di
quelli proposti ma non discussi, quindi non compa-
re negli Atti del seminario, Matematica e software
B
didattici curato da Aurelia Orlandoni.
C’
Date due distinte rette parallele e un punto su ciascu-
Fig. 1
na di esse, diciamo A e B, studiare il luogo individua-
to dal terzo vertice di uno dei due triangoli equilateri
di lato il segmento AB, al variare di A oppure di B.
In riferimento alla figura 1 costruiamo, nell’ordine:
Studiare inoltre la relazione esistente tra i quattro
(Per questa prima parte del problema, in realtà, è suffi-
diversi luoghi che possono essere prodotti dai due
ciente disegnare una sola retta)
terzi vertici del triangolo al variare dei punti A o B.
• Una retta r e un punto B esterno ad essa.
• Un punto A appartenente alla retta r.
C ome è possibile desumere dalla successiva traccia
• Il triangolo equilatero ABC mediante i seguenti
di risoluzione, il problema proposto è particolar-
comandi:
mente idoneo ad un’attività didattica avente natura rie-
- circonferenza di centro A e raggio AB;
13
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
- circonferenza di centro B e raggio AB;
conclusione anche nel caso in cui A* appartenga al seg-
- punti di intersezione C e C’ di tali circonferenze;
mento AC, oppure nel caso in cui A* ed A siano da parti
- triangolo di vertici A, B, C
opposte rispetto a C.
(eventualmente poi possiamo nascondere le due circon-
ferenze e il punto C’).
• Eseguiamo la traccia di C al variare di A. Appare una
retta incidente ad r.
C
Esegui la
traccia di C
al variare di B
Il triangolo ABC è costruito in
modo tale che anche il punto C
C*
appartenga alla retta r
A
r
A
r
A*
C
120,0°
s
Il punto A* è un
B
arbitrario punto
appartenente
Fig. 3
alla retta r e
distinto da A
In riferimento alla figura 3:
B
Fig. 2
Ora ripetiamo la costruzione con le seguenti modifiche:
• Tracciamo due rette parallele r e s.
• Fissiamo un punto A alla retta r e un punto B alla retta s.
In riferimento alla figura 2 (per la dimostrazione
• Eseguiamo la traccia di C al variare di B su s: analo-
della natura del luogo geometrico):
gamente al caso precedente appare una retta che non
• Fissiamo il punto A sulla retta r in modo che anche il
passa per A e che forma un angolo di 60° gradi rispetto
punto C appartenga a tale retta (il segmento AB forma
ad s (ed r). Per descriverla più precisamente, si conside-
angoli di 60° e 120° con la retta r).
ri la posizione di B per cui il lato AC del triangolo
• Costruiamo un punto A* appartenente alla retta r e
appartiene alla retta r. Il luogo geometrico è in tal caso
distinto da A (per fissare le idee, consideriamo il caso in
la retta individuata dal lato BC (se invece B è tale che
cui A* si trovi da parte opposta di C rispetto ad A).
BC appartiene la retta s il luogo cercato è la retta a cui
• Costruiamo il triangolo equilatero A*BC* in modo
appartiene il lato AB). Se avessimo disegnato solo la
analogo a quanto già fatto in precedenza (nascondiamo
retta s, analogamente al caso precedente, diremmo che
le circonferenze).
delle due rette passanti per la particolare posizione
così individuata per il punto C e formanti con r un
I triangoli A*AB e C*CB sono isometrici perché:
angolo di 60°, il luogo è costituito da quella che non
AB = CB in quanto lati del triangolo equilatero ABC
contiene il punto A.
A*B = C*B in quanto lati del triangolo equilatero
Si può dimostrare quanto affermato al punto 3, con
A*BC*
un’argomentazione del tutto analoga a quella già utiliz-
^
^
L’angolo A*BA è isometrico all’angolo C*BCperché :
zata nella nota descrittiva della figura 2.
^
^
^
^
^
^
A*BA = A*B C - ABC* = 60°- AB C*= AB C - AB C* =
Osserviamo per inciso quanto segue: si fissi il segmento
^
C*B C.
AB inizialmente perpendicolare ad r e s; si tracci il
luogo geometrico di C al variare di A; quindi si riporti
^
^
In particolare,A*AA = C*C B = 120° , da cui segue che
A in posizione iniziale prima di tracciare il luogo geo-
^
^
C*C A= 120° - AC B= 120°- 60° = 60°. In virtù dell’ar-
metrico di C al variare di B. I due luoghi così descritti
bitrarietà del punto A*, possiamo desumere che, al
da C si corrispondono in una simmetria assiale che ha
variare di quest’ultimo, il vertice C* del triangolo equi-
per asse la retta parallela a r e s ed equidistante da esse.
latero A*BC* descrive la retta, delle due passanti per
Se invece non si riporta A in posizione iniziale prima di
C e formanti con r un angolo di 60°, che non contie-
tracciare il secondo luogo geometrico si otterranno altre
ne il punto B.
configurazioni.
Con analoghi ragionamenti e lievi modifiche alla dimo-
In riferimento alla figura 4:
strazione riportata è possibile pervenire alla medesima
Prendiamo ora in considerazione il secondo triangolo
14
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
equilatero di vertici A e B. Il terzo vertice C’, citato
• Osserviamo che al variare del punto A su r la circon-
nella costruzione relativa alla figura 1, descriverà a sua
ferenza W passa sempre per il punto D.
volta due rette, la prima al variare del punto A e la
seconda al variare di B. Tali rette, come nei casi prece-
denti, formano angoli di 60° con le rette r e s . La dimo-
Il punto A varia sulla retta r
Fig. 5
e con esso, il triangolo ABC.
strazione è analoga alla precedente.
Osserviamo che il punto
Le quattro rette così ottenute si intersecano individuan-
d’intersezione tra I e la
do un quadrilatero. Dal momento che esse formano, a
circonferenza circoscritta
coppie, angoli uguali con le rette parallele r e s, risulte-
ad ABC non varia
C
ranno, a coppie, parallele tra loro.
Dunque, il quadrilatero è un parallelogramma.
A
D
Muovi il punto A.
I punti C e C’ descrivono i
r
O
luoghi geometrici
rappresentati con
I
tratto continuo
s
B
A
C
In riferimento alla figura 6 (per la dimostrazione di
C’
quanto affermato):
B
• Costruiamo il punto H, medio tra A e D, e la perpendi-
colare per H alle rette r e s . Essa interseca la retta l nel
punto N.
Muovi il punto B.
i punti C e C’ descrivono i
• Costruiamo la retta simmetrica di l nella simmetria
luoghi geometrici
assiale avente per asse la retta HN. Essa interseca la
Fig. 4
rappresentati in tratteggio
retta s nel punto M’, simmetrico del punto M in cui s
interseca l.
In riferimento alla figura 5:
Ora continuiamo ad esplorare le proprietà di questa
Dimostriamo che al
costruzione.
variare di A e di B il
Fig. 6
Utilizziamo una figura in cui costruiamo, oltre al trian-
punto D appartiene
N
golo ABC avente il vertice A in posizione generica,
alla circonferenza W
circoscritta ad ABC
anche il luogo geometrico di C al variare di A, che indi-
cheremo con l (non possiamo infatti utilizzare la traccia
in quanto il Cabri non la identifica come elemento geo-
metrico costruito e manipolabile). A tal fine, in riferi-
C
mento ai triangoli ABC e A*BC* costruiti in preceden-
120°-
30°
120°-
za per la dimostrazione (figura 2), è sufficiente tracciare
A
H
D
r
la retta per C e C*. Evidenziamo quindi il punto di
30°
intersezione D di r e l.
O
Oppure, dato solo il triangolo ABC, procediamo nel
I
seguente modo:
• Costruiamo un ulteriore un triangolo equilatero A’’BD
120°-
s
fissando A’’ su r in modo tale che D coincida con il
M’
B
M
punto di intersezione di r con il primo luogo geometrico
studiato, ovvero il lato AD appartenga ad r.
• Tracciamo il punto B’, simmetrico di B rispetto a r
Il triangolo MM’N è equilatero e il suo lato M’N con-
• Tracciamo la retta passante per D e B’: è il luogo geo-
tiene il punto A, simmetrico di D nella suddetta simme-
^
metrico l. Infatti per la simmetrica assiale ADB ’ = 60°.
tria assiale. Pertanto il triangolo MM’N è circoscritto al
• Nascondiamo il triangolo A’’BD, le circonferenze
triangolo ABC.
usate per costruirlo, e i punti B’ e A’’.
Come indicano le misure angolari riportate in figura, i
• Ora costruiamo la circonferenza W circoscritta ad
triangoli BMC, ACN e AM’B risultano simili. Inoltre,
ABC (usando il comando assi e circonferenza).
essi hanno i lati opposti agli angoli di 60° ordinatamen-
15
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
te uguali e quindi sono triangoli isometrici. In particola-
que anche bisettrice dell’angolo BMD. Pertanto il centro
re, AM’ = BM = CN.
O della circonferenza circoscritta W (e dunque anche
Sia O il circocentro di ABC. Dimostriamo che O è
della circonferenza inscritta, essendo ABC equilatero) al
anche il circocentro di MM’N. Sarà sufficiente dimo-
variare di A appartiene alla bisettrice dell’angolo forma-
strare che ON = OM = OM’. A tale scopo consideriamo
to da r e da l.
i triangoli OCN e OAM’: essi sono uguali perché OC =
OA essendo O circocentro di ABC, CN=AM’ e infine
Dimostriamo che il
^
^
Fig. 8
NCO =
+ 30° = OAM’. Pertanto, ON = OM’.
circocentro O di W
Analogamente si dimostra che OM’ = OM. Da quest’ul-
descrive la bisettrice
dell’angolo di 60°
tima uguaglianza deriva che il punto O appartiene all’as-
N
avente per lati s ed I
se del segmento MM’, cioè alla retta NH. Pertanto la
retta ON coincide con la retta NH ed è dunque perpendi-
colare alla retta MM’.
C
Ora abbiamo tutti gli elementi per dimostrare che D
L
appartiene alla circonferenza W: i triangoli OHA e OHD
A
H
D
sono uguali. Infatti sono triangoli rettangoli, hanno OH
r
in comune e AH = HD in quanto A e D sono simmetrici
O
I
rispetto a H.
Quindi OA = OD e perciò anche D appartiene alla cir-
s
conferenza W, c.v.d.
M’
K
B
M
In riferimento alla figura 7:
Eseguiamo la traccia del circocentro O al variare di A:
sembra essere la bisettrice dell’angolo di 60° che ha per
Oppure (senza dimostrare che BDM è equilatero):
lati le rette s e l.
Siano K e L le proiezioni ortogonali di O rispettivamen-
te su MM’ e su MN.
I triangoli OBK e OCL sono rettangoli e uguali perché
^
Esegui la traccia
OB = OC (O è circocentro di ABC) e OC L = 150° a =
Fig. 7
del circocentro O
^
OBK.
al variare di A
Quindi OK = OL e perciò O appartiene alla bisettrice
C
Cosa osservi?
dell’angolo , c.v.d.
Relazione sull’attivita’ svolta in classe
Il problema è stato utilizzato in una quarta liceo scienti-
fico, nei primi giorni dell’anno scolastico e senza valuta-
zione, nel quadro di un’attività in laboratorio della dura-
O
D
r
ta di sei ore, che favorisse un rientro graduale nei con-
A
sueti ritmi di lavoro, e nell’ambito di un modulo sulla
risoluzione di problemi. Gli studenti hanno lavorato in
I
gruppi di tre, aggregandosi come preferivano. Già pos-
s
sedevano competenze medio/minime nell’utilizzo di
B
Cabri avendolo usato nei precedenti anni scolastici, ma
in modo saltuario. E’ stato chiesto loro di redigere con-
testualmente un verbale delle attività in cui registrare la
In riferimento alla figura 8 (per la dimostrazione di
sequenza dei comandi utilizzati e anche eventuali rifles-
quanto osservato):
sioni, congetture, errori e correzioni.
In base a quanto sopra dimostrato, al variare di A su r il
Il lavoro è stato articolato nelle seguenti fasi:
segmento BD è comunque corda della circonferenza W
Lavoro dei gruppi, inizialmente senza alcuna guida, solo
circoscritta al triangolo ABC. Il suo asse passa per il
sulla prima parte del problema (luogo di C al variare di
centro O della circonferenza. Ma BD è anche lato del
A): effettuano invano alcuni tentativi di costruzione.
triangolo equilatero BDM (Nel quadrilatero ACDB
Allora la docente interviene in ogni gruppo per eviden-
^
inscritto nella circonferenza W si ha CA B = 60°, dun-
ziare i “vizi” di ciascuna costruzione e fornire spunti
^
^
que l’angolo opposto è CD B = 120°. Ma CD A = 60°
utili ai fini della correzione (vedi osservazioni). Ottenuta
come dimostrato in precedenza, dunque per differenza
correttamente la figura viene chiesto di nascondere, oltre
^
^
^
risulta AD B = BDM = DMB = 60°) e il suo asse è dun-
alle circonferenze e al triangolo ABC’, anche la retta s.
16
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
Si richiede loro di non visualizzare subito il luogo geo-
zione molti gruppi riescono a dimostrare la congettura
metrico.
sul luogo geometrico.
Breve momento di discussione collettiva per commenta-
Seconda parte del problema: far riapparire la retta s e
re quanto fatto e osservato per riflettere in particolare sui
costruire gli altri tre luoghi. I ragazzi ritengono super-
“gradi di libertà” dei vari elementi geometrici, al fine di
fluo ripetere le argomentazioni su di essi, perché analo-
chiarire meglio sia le relazioni fra essi, sia gli errori
ghe alla precedente. Osservare che si ottengono quattro
costruttivi commessi nei primi tentativi. Tale discussio-
rette a due a due parallele, che dunque individuano un
ne, inizialmente non prevista, si rende necessaria in
parallelogramma, è la parte più facile.
quanto a molti risulta difficile capire, ad esempio che,
mentre la prima retta r può essere modificata sia trasci-
Sull’uso del Cabri da parte degli studenti si osserva
nando il punto a cui è ancorata, sia modificando la dire-
quanto segue.
zione, la seconda retta s è “libera” parzialmente, ovvero
può essere trascinata solo per il punto di “ancoraggio”,
Nella prima fase (costruzione della figura):
ma non se ne può modificare la direzione se non in con-
Nella maggior parte dei casi essi disegnano la seconda
seguenza a modifiche apportare alla direzione di r.
retta s parallela ad r “ad occhio”. Basta muovere r per
Procedendo dal primo elemento costruito fino all’ulti-
verificare con loro se hanno imposto correttamente la
mo, si richiede di esplicitare nel verbale quali movimen-
condizione di parallelismo.
ti ogni elemento geometrico può fare “liberamente” o
In Cabri le due rette vengono disegnate con due click
“di conseguenza” a movimenti di altri parti della figura.
del mouse. Con il primo click viene fissato un primo
Visualizzazione del luogo geometrico con il comando
punto: molti pensano di utilizzare questi punti come
traccia: gli studenti facilmente congetturano che
punti variabili A e B sulle rette. In realtà quando muo-
dovrebbe essere una retta. Trovano invece più difficile
vono A o B si accorgono che accade il contrario, ovvero
descrivere nel verbale tale retta con maggiore precisio-
sono le rette costruite su di essi a muoversi di conse-
ne, così si discute collegialmente su quale potesse essere
guenza.
la descrizione più efficace. Comunque sembra a quasi
Ricordano che per disegnare i triangoli equilateri
tutti che il luogo formi un angolo di 60° con r.
occorre disegnare due circonferenze e i loro punti di
Si “ridisegna” il luogo geometrico. Infatti in Cabri la
intersezione. Però, nel disegnare tali circonferenze, fis-
traccia di un punto non ha una effettiva consistenza
sano correttamente il centro in un estremo del segmento
come ente geometrico manipolabile: non è neppure pos-
AB, ma non ancorano la misura del raggio con un click
sibile misurare tale angolo! Ancora i ragazzi sono liberi
sul secondo estremo: appena muovono A o B l’errore
di trovare una loro soluzione costruttiva, sempre con
appare, perché i triangoli ABC e ABC’ non si mantengo-
interventi personalizzati e discreti da parte della docente
no equilateri (i raggi non si modificano più, mentre
(vedi osservazioni).
dovrebbero mantenersi uguali al segmento AB).
Trascinamento di A ed esplorazione della figura, per
Nella “ricostruzione” del luogo geometrico l ed esplora-
cercare posizioni di A che originano particolari triangoli
zioni successive:
o indizi utili ai fini di una dimostrazione, ecc. Molti stu-
Alcuni provano a disegnare una retta sovrapponendola
denti inseriscono misure lineari ed angolari, per indaga-
“ad occhio” alla traccia: basta muovere la retta r o s
re la presenza di elementi che si mantengono fra loro
per evidenziare il loro errore. Oppure individuano il
uguali o simili al variare del punto A, ecc.
punto D “ad occhio” e non come “intersezione fra due
Fase dimostrativa: la docente interviene in modo più
oggetti”.
esplicito, sia con interventi collettivi, sia correggendo e
Qualcuno fissa prima A, in modo che il triangolo abbia
stimolando osservazioni nei singoli gruppi. In particola-
anche il terzo vertice C sulla retta r e poi traccia la
re si osserva insieme che, se più segmenti di diversa lun-
retta l a C. Però la sovrappone ancora ad occhio alla
ghezza hanno il primo estremo comune (D) e formano
traccia o addirittura ne fissa la direzione in modo che
angoli uguali rispetto ad una prefissata semiretta (una
formi un angolo di 60° con il lato AC del triangolo:
delle due su r aventi D come origine), allora i secondi
basta muovere A su r per evidenziare l’errore. Qui
estremi di tali segmenti appartengono ad una medesima
comunque si pongono due questioni importanti e deli-
retta (l). Allora i ragazzi comprendono che, dati due
cate per le quali si rimanda alla nota aggiuntiva. (*)
triangoli ABC (prefissato, con C su r) e A*BC* (qualun-
Altri scelgono di avere C sulla retta r e poi costruiscono
que, al variare di A su r), è sufficiente mostrare che, il
la parallela per C al lato AB: appena si muove A la
segmento CC* forma un angolo di 60° come detto
costruzione rivela i suoi “vizi”.
sopra. Nei singoli gruppi di lavoro, dopo alcune loro
Infine solo i migliori alunni ricordano che al luogo geo-
inefficaci osservazioni, si fa osservare che, muovendo il
metrico appartiene C comunque si fissi A su r: disegna-
triangolo A*BC*, nel vertice comune B gli angoli e si
no dunque due triangoli equilateri ABC e A*BC* a par-
sovrappongono per un angolo variabile, lasciando “libe-
tire da due differenti posizioni A e A* e poi tracciano la
ri” due “spicchi”...uguali. Con questa ulteriore informa-
retta per C e C’.
17
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
di annotare errori, riflessioni e ripensamenti, è stato per
(*) Nota aggiuntiva:
loro faticoso. Ma uno degli obiettivi del lavoro era
I ragazzi sono ben felici di utilizzare la “misura” in
anche curare le capacità descrittive. Talvolta i ragazzi
Cabri, sia per visualizzare misure di angoli e di segmen-
non erano sicuri della chiarezza delle loro descrizioni.
ti in fase esplorativa, sia per effettuare “riporto di”
Allora sono stati invitati a far leggere i testi prodotti al
angoli o di segmenti in fase costruttiva. E’ stato conces-
gruppo “vicino di banco”: hanno trovato questo “test”
so loro di visualizzare misure in fase esplorativa, perché
molto utile.
ciò può favorire congetture, ma solo dopo aver fatto
acquisire loro consapevolezza che a volte Cabri indica
misure in modo approssimativo e può ingannare l’osser-
vatore (non è stato difficile, anche in virtù della nota
successiva). Non è stato consentito loro di usare il
riporto di angoli e segmenti, perché si voleva che sfrut-
Un lutto
tassero proprietà e relazioni fra elementi per effettuare
le costruzioni in modo rigoroso.
Il 22 maggio scorso è mancato il prof. Candido
Se si vuole che anche il punto C appartenga alla retta r,
Sitia, Presidente del Centro Ricerche Didattiche
è bene sottolineare la differenza fra “l’imporre” tale
“Ugo Morin” e Direttore responsabile della rivista
condizione (mediante opportuna costruzione) o l’accon-
L’Insegnamento della matematica e delle Scienze
tentarsi semplicemente che questo “appaia all’occhio”.
Integrate.
Per far acquisire consapevolezza di tale differenza si
Lo vogliamo ricordare con particolare affetto e
può utilizzare con i ragazzi il comando “appartiene a?”
stima per le energie che ha sempre profuso per
che mostrerà se il punto che sembra appartenere ad una
migliorare la didattica della matematica. Per diversi
retta vi appartiene realmente o no. Però con i ragazzi
lustri è stata una presenza discreta, ma sicura per la
meno pronti può essere opportuno accontentarsi poi di
crescita professionale di molti docenti. Per come lo
una figura ottenuta “ad occhio”, per non appesantire
abbiamo conosciuto, possiamo dire che una sua
troppo il lavoro. Anche perché tale figura viene utilizza-
caratteristica peculiare era: “poche parole e molti
ta nella fase dimostrativa, in cui sono tenuti a motivare
fatti”. E questo in anni in cui la didattica generale e
rigorosamente ogni affermazione: il sapere che lavora-
molte didattiche “particolari” sembravano procede-
no con figure approssimative ed ingannevoli potrebbe
re in senso inverso (“molte parole e pochi fatti”).
essere per loro una buona motivazione a dimostrare.
Temiamo che il vuoto lasciato da questo maestro
Peraltro, se C non è vincolato ad r, difficilmente l’ango-
sarà difficilmente colmabile.
lo convesso fra l ed r risulterà in cabri con misura esat-
tamente di 60°: questo convincerà ancor più gli studenti
La Redazione del bollettino CABRIRRSAE
che “vedere in Cabri” può trarre in inganno e non equi-
vale a “dimostrare”.
In generale:
I ragazzi (soprattutto i meno bravi) si sono soffermati
nel tracciare e osservare ripetutamente i luoghi geome-
trici, come incantati dalle tracce che si producevano.
D
Sono stati forzati a passare alla fase di lavoro successi-
A CABRINEWS
va.
Tutti i gruppi, molto motivati, si sono sentiti in gara fra
Cabri in biblioteca
loro e con il tempo: hanno cercato di elaborare risultati
nel tempo più breve possibile, nascondendo i risultati
a cura della Redazione
agli altri gruppi.
Le fasi di costruzione e di esplorazione sono le più
accattivanti. Un po’ meno le fasi dimostrative per i
A lla lista di discussione Cabrinews è giunta una
richiesta che riportiamo di seguito. Pensiamo che
ragazzi più deboli, ai quali fino alla fine sfuggono alcuni
le risposte di due colleghi della lista possano interessare
passaggi del ragionamento. Il cabri è utile anche per
anche i docenti che non la seguono
individuare il percorso dimostrativo: visualizzare misure
di angoli permette di individuarne coppie che si manten-
29 Maggio 2002
gono al variare di A. Tuttavia l’insegnante deve integrare
Margherita Dini
suggerendo ai ragazzi quali elementi osservare e in
Nei miei alunni di scuola media (specialmente in quelli
quali circostanze.
di prima, ancora curiosi e indenni dalla demotivazione
Redigere un verbale dettagliato, in cui si chiedeva anche
che pervade quelli di terza) ha suscitato vivo interesse il
18
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
libro Il Mago dei numeri - Alla scoperta del paese
- Cohen G., Pitagora si diverte, Paravia, Torino, 1999 e
incantato della matematica di Hans Magnus
2000, ed.it. 2001, pp. 118 [Raccolta di problemi dei
Enzensberger.
Giochi Internazinali di Matematica]
Quali altri testi relativi alla matematica (ma anche alle
- Grugnetti L. e Jaquet F. (a cura di), Il Rally matemati-
scienze) mi consigliate di proporre?
co transalpino. Quali rapporti per la didattica?,
…
Pitagora Ed., Bologna, 1999, pp. 192 [Tratta di una Gara
di Matemartica per allievi di Scuola Elementare e
07 Giugno 2002
Media]
Consolato Pellegrino
- Pappas T., Le Gioie della Matematica, Muzzio,
Padova, 1986 (ed. 1995), pp. 240
Prima che mi passi di mente riporto più sotto, alla rinfu-
- Beutelspacher A., Matematica da tasca: dall’abaco
sa, alcuni titoli.
allo zero, Ponte alle Grazie, Milano, 2002, pp. 128
Ho contrassegnato con un asterisco quelli adatti agli
allievi più piccoli.
08 Giugno 2002
Federico Peiretti
- Casati R., La scoperta dell’ombra. Da Platone a
Galileo la storia di un enigma che ha affascinato le
Per i ragazzi delle medie, scorrendo i titoli della mia
grandi menti dell’umanità, Mondadori, Milano, 2000,
biblioteca, mi sentirei di raccomandare quelli che seguo-
pp. 278
no. Sono divisi in due gruppi, il primo per tutti, il secon-
* Cerasoli A., I Magnifici dieci. L’avventura di un bam-
do per i più bravi o per il terzo anno.
bino nel mondo della matematica, Sperling & Kupfer
Qualche libro ha cambiato editore, altri sono esauriti e
Ed., 2001, pp. 186 [Romanzo, adatto anche ad allievi di
quindi è da verificare la disponibilità in libreria.
scuola elementare, tocca varie tappe dello sviluppo della
matematica, vi si incontrano tanti personaggi importanti,
Edwin A. Abbott, Flatlandia, racconto fantastico a più
compreso il “signor” p.]
dimensioni, Adelphi, 1966
- Cresci L., Le curve celebri. Invito alla storia della
Lewis Carroll, Alice, Longanesi, 1971
matematica attraverso le curve piane più affascinanti,
Martin Gardner,
Muzzio Ed., Padova, 1998, pp. 194
Enigmi e giochi matematici, Vol. I-II-III-IV-V,
- Cresci L., I numeri celebri, Muzzio Ed., Padova, 2000,
Sansoni
pp. 224
Carnevale matematico, Zanichelli, 1977
- Dehaene S., Il pallino dei numeri. Scoprire il genio dei
Show di magia matematica, Zanichelli, 1980
numeri che è in noi, Mondadori, Milano, 1997, ed. it
Circo matematico, Sansoni, 1981
2000, pp. 292
L’incredibile dottor Matrix, Zanichelli, 1982
- Doxiadis A., Zio Petros e la congettura di Goldbach,
L’universo ambidestro, Zanichelli, 1984
Bompiani, Milano, 1992, ed.it. 2000, pp. 144 [PREMIO
Enigmi da altri mondi, Sansoni, 1986
“PEANO” 2001]
Sam Loyd, Passatempi matematici, Vol. I e II, Sansoni,
- D’Amore B., Più che ‘l doppiar de li scacchi s’inmilla.
1980
Incontri di Dante con la matematica, Pitagora Ed.,
Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi inte-
Bologna, 2000, pp. 166
ressanti, Sansoni, 1983
- Dunham W., Viaggio attraverso il genio, Zanichelli,
Riccardo Bersani e Ennio Peres, Matematica, corso di
Bologna, 1990, ed.it. 1996, pp. 350
sopravvivenza, Ponte alle Grazie, 1998
- Falletta N., Il libro dei paradossi, ed.it. 1994, Ed. Tea
Due, Milano, 1983, pp. 244
Peter M. Higgins, Divertirsi con la matematica,
- Gardner M., Enigmi e giochi matematici, BUR, 1959 e
Garzanti, 1999
1961, ed.it. 2001, pp. 370
Raymond Smullyan
- Guedj D., Il teorema del Pappagallo, Longanesi,
Donna o tigre? ... e altri indovinelli logici, Zanichelli,
Milano, 1998, ed.it. 2000, pp. 562
1985
- Kaplan R., Zero. Storia di una cifra, Rizzoli, Milano,
Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli, 1981
1999, ed.it. 1999, pp. 330
Fare il verso al pappagallo e altri rompicapi logici,
- Peres E., Febbre da gioco. Esistono sistemi sicuri per
Bompiani, 1990
vincere?, Avverbi Ed., Roma, pp. 168
Satana, Cantor e l’infinito e altri inquietanti rompica-
* Tahan M. L’uomo che sapeva contare. Le mille e una
pi, Bompiani, 1994
notte dei numeri, Salani, Firenze, 1990, ed.it. 1996, pp.
Hugo Steinhaus, Cento problemi di matematica elemen-
190 [Romanzo, in formato tascabile, adatto anche ad
tare, Boringhieri, 1983
allievi di scuola media. Già segnalato l’anno scorso. Ha
Colin Bruce, Sherlock Holmes e le trappole della logica,
avuto un alto indice di gradimento]
Cortina, 2001
19
CABRIRRSAE 2002
Bollettino
la recensione del mese
Notizie dalla rete
di Daniele Tasso
Il primo Congresso latinoamericano dedicato a CABRI-
affare migliore investendo in BOT, che nel Paese di
géomètre, si svolgerà a Santiago del Cile, nei giorni 24,
Cuccagna rendono il 20 per cento? Per decidere il pove-
25 e 26 di Luglio 2002; organizzato dalla Università
ro burattino dovrebbe intendersene di interessi composti
Metropolitana di Scienze dell’Educazione e dalla
e crescite esponenziali…e di algoritmi. Questo avvio
Università Nazionale Andrés Bello, con la partecipazio-
narrativo – riportato da P.Bianucci su La Stampa - è
ne della Texas Instruments. Oltre alle relazioni in IBE-
preso dal primo capitolo di “Algoritmi, divinità e gente
ROCABRI sarà dato spazio a dimostrazioni concrete,
comune”
con l’uso dei computer, di alcune applicazioni didattiche
www.edizioniets.com
di Geometria dinamica. Presidente del comitato scienti-
La matematica può essere “bella e appassionante”
fico, che ha organizzato il congresso, è Jean-Marie
secondo gli attori di “Bubbles …il sogno di Alice”: uno
Laborde.
spettacolo teatrale, rappresentato il 18 giugno nella città
(vbarile@abello.unab.cl)
toscana in collaborazione con “Il Giardino di Archimede
Il primo congresso internazionale dedicato alla geome-
Un museo per la Matematica” e del dipartimento di
tria dinamica con CABRI-géomètre si è svolto a San
Matematica dell’Università di Firenze. Secondo il
Paolo in Brasile, nell’ottobre del 1999
“Théatre Diagonale” dell’Università di Lille in Francia –
(www-cabri.imag.fr/nouvelles/CabriWorld-e.htm)
produttore dello spettacolo - “Ognuno di noi ha giocato
Il secondo congresso mondiale si è invece svolto a
con le bolle di sapone e …”
Montreal in Canada, nell’anno 2001
www.dm.unifi.it www.dm.unito.it
(www.CabriWorld.net)
Com’era insegnata la matematica due secoli fa?
L’ultima indagine sul livello di capacità linguistiche,
Chiedetelo Giacomo Leopardi.
scientifiche e matematiche,
condotta dalla
www.guide.supereva.it/matematica_risorse_in_rete/inter
Organizzazione per la Cooperazione Economica e lo
venti/2001/06/48441.shtml
Sviluppo (OECD), su un campione di studenti al termi-
Oggi i siti “ufficiali” di Cabri-géomètre sono 48. Si veda
ne della scuola dell’obbligo, in 32 dei paesi membri, ha
in proposito il sito :
dato questi risultati:
www-cabri.imag.fr
I primi 5 classificati nelle capacità linguistiche sono
Secondo I.Walker, professore all’Università di Warwick,
stati: Finlandia, Canada, Nuova Zelanda, Australia e
in Inghilterra, un uomo inglese spende 8 euro per ordi-
Irlanda.
nare una cena, mentre il
I primi 5 paesi nelle capa-
valore complessivo del
cità scientifiche: Corea,
tempo impiegato per cuci-
Giappone,
Finlandia,
narsela da sé e degli ingre-
Regno Unito, Canada.
dienti sarebbe di 27 euro.
I primi 5 nelle capacità
Secondo Walker ogni minu-
matematiche: Giappone,
to di vita di un uomo bri-
Corea, Nuova Zelanda,
tannico vale 16 cent di
Finlandia, Australia.
euro, quello di una donna
L’Italia è stata giudicata
circa 14.
inferiore alla media in tutte
La formula è:
e tre le aree.
V = ( W ( ( 1 0 0 - t ) / 1 0 0 ) ) / C .
www.oecd.org
Dove V è il valore di un’o-
Nel Paese di Cuccagna la
ra, W è il salario orario di
Volpe e il Gatto propongo-
una persona, t si riferisce al
no un affare a Pinocchio: se
livello delle tasse e C al
lui versa uno zecchino alla
costo della vita.
loro Banca, loro ogni anno
Provare per credere…quan-
gli daranno 10 zecchini di
to si risparmia leggendo
interesse. Pinocchio si
queste notizie, anziché cer-
lascerà convincere o farà un
carsele da soli?
20
